2.3　新的距离测度方法

下面将介绍两种新的直觉模糊集之间距离的测度方法。为简单起见，假定直觉模糊集A和B只包含一个元素，即A=（μ_A，v_A ），B=（μ_B，v_B ）。为便于讨论，它们可以转换为区间模糊集A′=[μ_A，1-v_A]和B′=[μ_B，1-v_B]。

2.3.1　方法1

方法1的主要步骤如下。

构建四个元素的序列：（μ_A，1-v_A，μ_B，1-v_B）；

将上述序列的元素降序排列，得到新的序列为：（a，b，c，d）；

令U=a-d，I=b-c。不失一般性，假定μ_A≤μ_B，则直觉模糊集A和B之间的距离可表示为：

若1-v_A≥μ_B，则d（A，B）=（U-I）/2；

反之，若1-v_A<μ_B，则d（A，B）=（U+I）/2。

明显，1-v_A≥μ_B表明由区间模糊集A′=[μ_A，1-v_A]和B′=[μ_B，1-v_B]所代表的两个区间的交集为非空集，I表示该交集的长度，U表示两个区间的最大距离。1-v_A<μ_B表明两个区间的交集为空集，I和U分别表示两个区间的最小距离和最大距离。

例如：若直觉模糊集A=（0，1）、B=（1，0），则d（A，B）=（1+1）/2=1；

若A=（0.2，0.6）、B=（0.2，0.6），则d（A，B）=（0.2-0.2）/2=0；

若A=（0.2，0.6）、B=（0.3，0.4）、C=（0.5，0.4），则d（A，B）=（0.4-0.1）/2=0.15，d（A，C）=（0.4+0.1）/2=0.25。

容易证明，方法1满足直觉模糊集之间距离定义的公理化要求。但是，该方法在特定的情况下并不能有效识别一些模糊集的差异。

例如：若A=（0.1，0.4）、B=（0.2，0.7）、C=（0.3，0.6），则d（A，B）=（0.5-0.1）/2=0.2，d（A，C）=（0.5-0.1）/2=0.2。

2.3.2　方法2

在方法1中，U和I取值的大小表示特定区间或线段的长度，也就意味着，该距离测度方法只包含了区间两个端点的信息，而丢掉了中间各点的信息。因此，在许多情况下，方法1不能有效识别一些模糊集的差异。接下来，本书将提出第二种直觉模糊集之间距离的测度方法。方法2和方法1的基本思路一致，但在方法2中，U和I取值的大小表示的是直线图形的面积，而不再是区间的长度。方法2假定：在区间模糊集（由直觉模糊集转化而来的）所代表区间上的所有点之中，中点所包含该区间的信息量最大，而且离中点越近的点包含的信息越多。因为方法2包含了区间上所有点的信息，所以该方法在一定程度上能克服距离或贴近度测度中信息损失的缺陷。

首先，将直觉模糊集A和B转化为相应的对称三角模糊数：=（μ_A，m_A，1-v_A）、=（μ_B，m_B，1-v_B），其中，m_A=（μ_A+1-v_A）/2、m_B=（μ_B+1-v_B）/2。不失一般性，假定m_A≤m_B。明显，若A=B，则。两对称三角模糊数之间的位置关系如图2-3所示。

其次，将直觉模糊集A和B之间的距离等同于相应对称三角模糊数和之间的距离，即d（，）=d（A，B）。

令为对称三角模糊数的隶属函数：

对称三角模糊数的隶属函数μ_B~（t）也用同样的方法定义。类似于方法1，和d（A，B）的大小取决于U和I，它们的数学表达式如下所示：

I在数值上等于对称三角模糊数和重叠部分的面积，如图2-2和图2-3所示阴影部分的面积，在图2-1中I=0。U所代表图形的面积可以分为两部分：一部分是由和的外围直线与横坐标轴所围成的面积，如图2-2中由折线a₁ACBb₂与横坐标轴所围成的面积；另一部分是由和所夹部分的面积，如图2-1中四边形ADCB的面积，图2-2中三角形ACB的面积，图2-3中和所夹部分的面积为0。为便于计算，U可以分为三部分，如式（2-24）所示。考虑和是“对称”三角模糊数，U和I的取值互相影响，它们共同决定了或d（A，B）。

下面以图2-4为例，证明是测度直觉糊模集A和B之间距离的方法之一。

定理2-1　可以用来表示直觉模糊集A和B之间的距离。

容易证明满足定义2-3的前三个要求，因此，下面仅证明d满足第四个要求。

令A、B、C∈IFSs，且A⊆B⊆C、=（a₁，m_A，a₂）、=（b₁，m_B，b₂）和=（c₁，m_C，c₂）分别是由直觉模糊集A、B、C转化而来的对称三角模糊数。

由A⊆B⊆C可得：a₁≤b₁≤c₁，且a₂≤b₂≤c₂。

如图2-4所示，点D、E和F分别是和、和、和隶属函数的交点。

根据式（2-22）~式（2-24）可得：

，S表示相应图形的面积⇔很明显，成立⇒成立⇒成立。同理，可证。

所以，定理2-1得证，可用来表示直觉模糊集A和B之间的距离。

为了方便计算，下面推导其计算公式。不失一般性，假定m_A≤m_B，在此条件下本书将和的相对位置关系分成三种情况。

（1）a₂≤b₁。根据式（2-22）~（2-24）可得：U=（m_B-m_A+b₂-a₁）/2、I=0。

因此：

（2）a₁≤b₁≤a₂≤b₂。根据式（2-21），可得点C的纵坐标：

2（a₂-b₁）/（a₂-a₁+b₂-b₁）=2（a₂-b₁）/（π_A+π_B），

其中，π_A和π_B分别是直觉模糊集A和B的直觉指数。

根据式（2-22）~式（2-24），可得：

（3）b₁≤a₁、a₂≤b₂（另一种情况如图2-7所示：a₁≤b₁、b₂≤a₂）。

首先，假定b₁≤a₁、a₂≤b₂。为了简化计算过程，进行坐标轴平移，新的坐标系如图2-6所示。点C和点D分别是对称三角模糊数和隶属函数的交点。根据式（2-21）可得到点C和点D的纵坐标分别为2（m_B-m_A）/（π_A-π_B）和-2（m_B-m_A）/（π_A+π_B）。

由图2-6可知如下公式成立：

因此，可得：

与此类似，若a₁≤b₁、b₂≤a₂，如图2-7所示，可得：

综上，在第三种情况下：

由此，可以根据式（2-25）~式（2-27）较方便地计算直觉模糊集之间的距离。

如果直觉模糊集A和B包含多个元素，即A=｛（x_i，μ_A（x_i），v_A（x_i））|x_i∈X｝、B=｛（x_i，μ_B（x_i），v_B（x_i））|x_i∈X｝，论域X=｛x₁，x₂，…，x_n｝。则：

其中，w_i是元素x_i∈X的权重且w_i=1。

根据上述分析过程，可得到如下两个推论。

推论2-1　假定对称三角模糊数=（a₁，m_A，a₂）和=（b₁，m_B，b₂）由相应的直觉模糊集A和B转化而来，且分别具有固定的π_A和π_B。当m_A=m_B时，达到最小值。此时：

易知，在上述前提条件下，U和I分别达到其最小值和最大值。因此，达到最小值。此外，随着m_A和m_B之间差距的增大，将逐步增大，因为此时U和I分别增加和减小。

推论2-2　令=（a₁，m_A，a₂）、=（b₁，m_B，b₂）和=（c₁，m_C，c₂）均为对称三角模糊数。如图2-8所示，若满足π_A=π_B和m_B-m_A=m_C-m_B，则d。

易知，此时和关于对称，具体推论证明略。