3.4 工程中输电线路感应电的计算方法

输电线路产生的感应电，而物体在电磁场中引起的畸变、多基塔地线接地、检修线路接地、导线换位等情况，传统解析法难以考虑，甚至没有解析解，给实际工程中的感应电计算带来了挑战。随着计算机技术和数值计算方法的不断发展以及仿真分析软件的出现，这些问题在很大程度上得到了解决。

输电线路附近的物体大致可分为两类：一类是人畜、建筑等尺寸相较于通电导线长度小很多的物体；另一类是同塔架设的输电线路、平行架设的电缆等长度与通电输电线路长度具有可比性的物体。对于前者，常关注的是这些物体所处位置的电场强度、电位、感应电流等，通常采用“场”方法，如有限元法，对场域进行剖分，设置激励和边界条件进行求解，属于场计算，常用的分析软件有Ansys、Comsol、Infolytica等。对于后者，关注点常在于平行架设线路的感应电压和电流、线损等，可用电阻、电感、电容、单相或多相π形线路、分布参数线路等元件互相连接组成的电网络来描述，属于路计算，常用的分析软件有ATP-EMTP、PSCAD、PSASP等。

限于篇幅，本节仅简要介绍基于有限元法和电磁暂态计算程序的输电线路感应电数值计算流程。

3.4.1 应用场方法计算输电线路附近物体的感应电

3.2.3节对应用有限元法求解电磁场问题进行了简要介绍，它是一种近似求解方法，其思想的数学形式可描述如下：

（1）通过n个有限参数u_j（j=1，2，3，…，n）近似描述整个求解域的物理性质。

（2）将这个求解域分成n个子域并用n个方程表达，即

（3）这n个方程中的每一个方程均是由n个有限个子区域（单元）的贡献项叠加起来得到的，即

式中 F_i^e——各个子区域（单元）的贡献项。

在具体应用有限元法求解电磁场问题时，有两种引入方法：一种是基于变分原理的有限元法，其基本原理是从电磁场偏微分方程出发，根据变分原理，找到一个泛函，使它的极值与求解的偏微分方程的边值问题等价，然后利用剖分插值方法将变分极值问题离散化为多元函数的极值问题，即转化为线性代数方程组，求得数值解；另一种方法是伽辽金有限元法，它令场方程余量的加权积分在平均的意义上为0，然后基于伽辽金准则，利用子区域上的插值基函数作为权函数，继而导出离散化的代数方程组求解。

输电线路电磁场属于准静态电磁场，其周围小尺寸物体（人、兽、房屋等）的磁场感应电非常小，可以忽略，因此这是一个三维工频电场计算问题，可采用三维静电场计算方法求解，标量电位φ为待求量（注意，求解时，φ虽然视为标量，但导线带交流电时为一个工频量）。

根据Maxwell方程组可得出三维电场的泊松方程，即

假设V为整个求解域，场域边界由S₁和S₂组成，在大多数情况下，边界条件为

式中 φ₀——边界S₁上给定的电位分布。

采用基于变分原理的有限元法时，泊松方程的边值问题等价为泛函，即

然后利用剖分插值方法将该问题离散化为线性代数方程组。

假设求解域的子域均为四面体单元构成，且不存在边节点，如图3-30所示，单元的局部节点编号为1、2、3、4，对应整个求解域的编号为i、j、l、m。

对求解域中的每一个四面体单元，赋予一个插值函数，即

式中 φ_k——节点的电位值；

N_k——四面体单元上的插值的基函数。

这个插值函数的梯度为

引入中间量［B］_e，其表达式为

则式（3-84）可写为

若整个求解域由n个四面体单元构成，则每个单元的泛函与求解域的泛函有如下关系：

引入单元电场能系数矩阵［K］_e和中间量［ρ］_e，其表达式为

则单元的泛函可表示为

于是，变分问题被离散化成了以单元节点电位φ为自变量的多元函数。

对于整个求解域有

式中 ［K′］_e——［K］_e的扩展矩阵。

于是变分问题离散化成了二次函数的极值问题，即

式中 m——整个求解域共有m个节点。

根据函数的极值理论，有

引入中间量S_ij和F_i，其表达式为

于是得到如下n阶代数方程组：

再结合边界条件即可求得各个节点的电位。

3.4.2 应用路分析方法计算邻近线路上的感应电

以电路方法分析通电导线附近线路上的感应电时，电源、输电线路、架空地线、绝缘子、避雷器等设备都以等效模型（元件）的形式在电路中体现，大致可分为发电、变电、输电和负荷几类，模型的计算原理和处理方法可参看有关文献。本节以电磁暂态程序ATP-EMTP为例，简要介绍其计算方法。

ATP-EMTP可以求解由电阻、电感、电容、单相或多相π形电路、分布参数输电线路或其他元件相互连接组成的任意复杂网络。它包含很多系统元件的模型，这些模型通过不断完善和现场测试而被证实。在应用ATP-EMTP进行计算的过程中，电力系统的各种元件在t时刻的等值计算电路都由等值电阻和电流源组成，电力网则简化成由等值电阻和电流源组成的网络，简称等值计算网络。

利用ATP-EMTP计算时，其形式是基于梯形积分规则，用伴随模型作为动态元件，等值计算网络用节点方程，即Yu=i来表示。对于时刻t，节点方程中的u为由该时刻各节点电压所组成的列向量，i为由各节点注入电流组成的列向量（每一节点的注入电流为t时刻等值计算网络中与该节点相连的各等值电流源以及外施电流源的代数和），Y为等值计算网络的节点电导矩阵（它由各元件的等值电阻构成，其形成方法与电力系统潮流计算中形成网络节点导纳矩阵Y相仿）。

每一个电力网都由外施电源提供电能，ATP-EMTP处理外施电源的一般的方法是将式Yu=i按已知和未知电压节点进行分块，使之变为

式中 u_A、u_B——未知、已知电压节点的电压列向量；

i_A、i_B——未知、已知电压节点的电流列向量。

由式（3-97）可以导出

用式（3-98）来求解各未知电压节点的电压u_A。

显然，矩阵Y_AA是对称的稀疏矩阵，因此，式（3-98）可以用稀疏三角分解后，再用倒推法进行求解。将包括分布参数线路在内的全部元件用等值的电流源和电阻代替，然后求解等值回路的节点电压方程。不论多么复杂的电网络，都能用对应的节点导纳矩阵表示。ATP-EMTP计算流程图如图3-31所示。