第二节 货币时间价值

导入案例：

A公司总资产为5000万元。公司通过一年的运行，获得净利润400万元。公司的股东们非常关心的问题是，在当前资本市场上一般投资利润率为10%的情况下，公司取得的这一利润是否值得嘉奖？

一、时间价值基本命题

时间价值的一般意义是指人们对不同时点上的同一有用性具有不同效用强度感受，从而具有不同的主观评价。通常表现出典型时间价值经济内容的是货币。因此，人们以货币为基础论述时间价值时，就形成货币时间价值的基本命题。对货币时间价值基本命题的表述是：

不同时点上的货币，其内在价值不同。

在这一命题中，内在价值其实就是与货币名义价值相对而言的货币真实价值。

基于货币时间价值基本命题，我们可以得出如下推论：

不同时点上的货币，其名义价值不具有可比性，因而不能对不同时点上的货币直接进行初等代数意义的运算。如果人们需要对不同时点的货币进行诸如汇总、扣除等的价值计算，就必须首先进行内在价值的折算。这一折算过程就是确定某一时点的货币相当于多少另一时点货币。这一折算过程，就是把不同时点的货币在内在价值的意义上折算到同一时点上。这也是对货币进行时间属性调整。经过这一调整，使得原来具有不同时间属性因而不能直接计量的货币，改变为时间属性完全一致，从而可以进行代数和意义的内在价值计算。

对货币按照内在价值进行的当量内在价值的折算，就是货币的时间价值计算。

关于时间价值的认识，理论界并未获得一致认识。

首先，关于时间价值究竟是指一种价值增加现象还是一种价值减少现象，就未能获得统一认识。

一些学者认为是指价值的增加现象。通常，这些学者把企业经营活动的利润解释为时间价值现象。他们提出如下论断：如果将一些货币埋在地下，使其离开经营活动过程，这些货币是绝对不会增值的。所以，货币的时间价值其实就是资本在经营活动中的增值，是资本增值的基于时间而言的一种结果。这种观点将利润理解为时间价值。

另一种截然相反的观点是时间价值不过是一种价值减少的现象，它是指某种有价值的东西随着时间的推移其价值逐渐降低的现象。这种观点认为一定量货币无论其保存在哪里，其所包含的真实价值——内含价值都会随时间的推移而减少。这种观点提出如下论断：利润并不是一种时间价值。由于利润只是发生于不同时点的货币收付金额，所以利润必须被时间价值所调整，从而成为时间价值调整的对象。如果将利润解释为时间价值的话，就会形成以时间价值调整时间价值的逻辑矛盾。时间价值是调节价值的工具，因而时间价值就决不能是价值。

其次，关于产生时间价值的基础内容是否仅仅只是货币也是一个未定之论。

关于这一问题，现在的主流理论通常将时间价值定义为货币的价值量变化现象。由此得出的结论就是仅仅只有货币才具有时间价值现象。对此，最早出现的反对声音是将货币这一概念修正为资本，他们认为只有资本才具有时间价值现象。

但如果按照主观感受理论，则应该是所有具有有用性的物品都具有时间价值问题。因为只要存在有用性这一审美因子，就会给人们带来基于审美的主观感受，就会因此而产生审美评价。而基于人们审美的规律性而言，这种审美评价必然将随着时间的推移而降低。

最后，关于时间价值的性质究竟应该如何理解，仍是一个争论中的问题。关于时间价值这一现象性质的理解，包括客观价值论和主观价值论两种。

客观价值论认为，时间价值就是投入经营环境中被作为资本使用的货币所产生的增值。这里的增值是独立于主观而客观实在的价值额。而主观价值论则认为，时间价值不过是对于客观存在的某种效用的不同主观评价结果。这里的不同评价结果，以相关主体的主观感受为其存在基础。

二、时间价值计算的原理

（一）时间价值计算的技术基础

时间价值计算的基本原理就是将不同时点的货币按照内在价值折算至同一时点上。

在时间价值计算中，涉及以下基本概念。

1．时间数轴

时间价值涉及一个时点至另一个时点的时间过程。以横坐标来形象地表现这一时间过程，就形成时间数轴概念。在时间数轴上，要将整个时间价值变化过程完整地表达出来。通常，数轴的左端称为初始点，也称为现在时点。数轴的右端（理论上可以有右边的终端，也可以从右边无限延伸）称为终结时点，简称终点。同时，还要把整个时间价值变化过程等分为若干个时段，并以序号加以标示。时间段落可以有不同的长度。通常，对时段长度的规定是一年。

图2-4是一个包含五个时段（年）的时间数轴。

确定整个时间价值变化过程的时段数，其关键意义在于确定时间价值变化次数。时间价值的变化方式是，按照一定的变化水平（变化率）每一时段变化一次，而变化之后的结果就成为下一时段变化的基础。所以，时段数的确定，其实是在确定时间价值的变化是一种复利式的变化，进而确定变化时段数其实就是在确定时间价值变化的复利次数。

2．现值计算与终值计算

这是关于时间价值的折算形式的认识。时间价值计算的实质就是将某一时点的货币价值折算至另一时点。通常将后一时点的计量货币价值折算至前一时点的折算结果称为现值计算，其结果称为现值；而将前一时点的货币价值折算至后面时点的折算称为终值计算，其结果称为终值。在实践中，将现值计算确定为将现在时点以后的任何时点货币价值折算至现在时点的计算；而将终值计算确定为将整个时间过程的最后时点以前的任何时点货币价值折算至最终时点的计算。

图2-5表示将一个现在时点的计量货币金额折算至第四时段（年）末时点的终值计算。

图2-6表示将一个第四时段（年）末时点的计量货币金额折算至现在时点的现值计算。

3．时间价值变化率

时间价值变化率是关于时间价值折算的工具。时间价值变化率的实质就是某一时点的货币价值同另一时点的货币价值，按照单位时间确定的对比比率。通过这一比率的确定，即可将不同时点上的货币价值折算为另一时点的货币价值，从而实现不同时间货币价值的折算。实践中，通常以利息率来具体表现货币时间价值变化率。具体地，将这一指标用于终值计算时称之为增值率，将其用于现值计算时称之为折现率。

4．时间价值变化方式

时间价值变化方式是指某一时点的计量货币金额再折算到另一时点时，由于时间价值变化率是借用利息率形式来表现的，所以存在一个其变化是按照单利还是按照复利来确定的问题。就实质而言，资本运动的增长变化是以复利形式得以实现的，因而在确定时间价值变化方式时，就据此认定时间价值变化是一个复利的变化过程。这是进行时间价值折算应该遵守的一个原则。

时间价值折算的基本原理可以归纳为某一时点的货币计量金额按照时间价值的变化率和复利变化次数，折算至另一时点的当量价值即终值或现值的计算过程。

（二）时间价值计算的对象

时间价值计算的对象就是时间价值变化过程中特定时点上的货币。通常，这种收入或支出的货币被称为现金流量。依据货币金额的出现频度，我们将货币金额分成两大类：

（1）在整个时间价值变化过程中只出现一次的货币金额；

（2）在整个时间价值变化过程中出现若干次的货币金额。

对第二类计量货币金额，依据其本身特征，我们又可将其分成规则的计量货币金额和不规则的计量货币金额两种。其中，规则的计量货币金额通常称为年金。

计量货币金额具有如下特征：

（1）各次计量货币金额相等；

（2）各次计量货币金额对应地出现于各个时段的固定时点上，从而每次计量货币金额的出现时间间隔相同；

（3）每次计量货币金额的流动方向一致，或者说各次计量货币金额的收或付是相同的。

通常，我们将以下四种形式的年金作为年金的典型具体类别：

（1）普通年金。普通年金是指各次计量货币金额对应地出现于各相应时段的最后时点上的年金。所以，普通年金通常也称为后付年金。

（2）预付年金。预付年金是指各次计量货币金额对应地出现于各相应时段的初始时点上的年金。所以，预付年金通常也称为先付年金。

（3）递延年金。递延年金是指时间价值变化过程的前若干时段货币计量金额缺损的普通年金，或者说普通年金的货币计量金额依次往后递延若干时段的结果。

（4）永续年金。永续年金是指时间价值变化过程中所包含的时段数无穷大，同时时间价值变化过程的货币计量金额出现次数亦无穷大的普通年金。

在系列性的货币计量金额中，还有两种特殊的形式：一种为各次计量货币金额构成一个等差级数数列的形式，习惯上将其称为等差年金；另一种为各次计量货币金额表现为等比级数数列的形式，习惯上将其称为等比年金。

年金的规则特征使得年金形式的时间价值计算具有独特的规律性。而对于时间价值变化过程出现的不规则系列计量货币金额，在进行时间价值计算时，通常将其分别作为一次性计量货币金额加以处理。

三、时间价值的计算

（一）一次性货币金额的时间价值计算

如前所述，整个时间价值变化过程中只出现一次的货币金额，就是所谓一次性货币金额。而对一次性货币金额所进行的时间价值折算就是一次性货币金额的时间价值计算。按照折算的方向不同，一次性计量货币金额的时间价值计算包括终值计算和现值计算两种基本内容。

1．一次性计量货币金额的终值计算

这一计算的基本内容就是将时间价值变化过程的某一时点的计量货币金额折算至该过程的最终时点，以确定该计量货币金额折算之后相当于该过程最终时点的多少金额。而折算过程实质上是确定某一时点的计量货币金额按照某一特定时间价值变化率增值，经过若干（时段数）次复利增值后的当量价值结果。

据此，有计算公式如下：

式中：F——终值；

P——现值；

i——时间价值变化率；

n——复利增值次数；

（1+i）n——复利终值系数。其含义为一个单位计量货币金额（通常为1元）

按照时间价值变化率i复利增值n次后的当量价值。

【例2-1】在年资本增值率为6%的市场背景下，现在的2000元货币，五年后的复利终值应该是多少？

依据前述公式计算如下：

F=2000×（1+6%）5=\1\276.45\1\2（元）

2．一次性计量货币金额的现值计算

这一计算的基本内容就是将时间价值变化过程的某一时点的计量货币金额折算至该过程的初始时点，以确定该计量货币金额折算之后相当于该过程初始时点的多少金额。而折算过程的实质是确定某一时点的计量货币金额按照某一特定时间价值变化率折现，经过若干（时段数）次复利折现后的结果。

据此，有计算公式如下：

式中：P——现值；

F——终值；

i——时间价值变化率；

n——复利增值次数；

1/（1+i）n——复利现值系数。其含义为一个单位计量货币金额（通常为1元）

按照时间价值变化率i复利折现n次后的当量计量货币金额。

【例2-2】第四年年末的50000元，如果在市场资本市场增值率为8%的背景下，折算至现在时点，其折算的现值应该是多少？

依据前述公式计算如下：

P=50000×1/（1+8%）4=3\1\251.49（元）

（二）普通年金的终值与现值计算

依据普通年金的特征，从技术角度而言，普通年金的时间价值计算不过是一次性计量货币金额的时间价值计算的若干次重复进行之结果的合计而已。

1．普通年金的终值计算

这一计算的内容就是确定若干数额相等的计量货币金额，按照同一增值率和不同的增值次数，折算至过程最终时点的当量价值合计金额。

据此，有普通年金终值的计算公式如下：

式中：FA——年金终值；

A——年金金额；

i——时间价值变化率的增值率；

n——复利增值次数；

{（1+i）n-1}/i——年金终值系数。其含义为分别处于若干个不同时段的单位计量货币金额（通常为1元）按照统一的时间价值变化率i和对应不同的复利增值次数复利增值至过程最终时点的当量计量货币金额的合计。

【例2-3】设在未来五年中，每年年末有40000元的流量。在市场一般资本增值率为7%的背景下，将这一普通年金折算至第五年年末时点，将相当于一笔数额为多大的货币金额？

依据前述公式计算如下：

FA=40000×{[（1+7%）5-1]/7%}=23\1\229.56\1\2（元）

2．普通年金的现值计算

这一计算的内容就是确定若干数额相等的计量货币金额，按照同一增值率和不同的增值次数，折算至过程初始时点的当量价值合计金额。

据此，有普通年金现值的计算公式如下：

式中：PA——年金终值；

A——年金金额；

i——时间价值变化率的增值率；

n——复利折现次数；

{1-[（1+i）-n]/i}——年金现值系数。其含义为分别处于若干个不同时段的单位计量货币金额（通常为1元）按照统一的时间价值变化率i和对应不同的复利折现次数复利折现至过程初始时点的当量计量货币金额的合计。

【例2-4】设在未来六年中，每年年末有25000元的流量。在市场一般资本增值率为8%的背景下，将这一普通年金折算至现在时点，将相当于一笔数额为多大的货币金额？

依据前述公式有计算如下：

PA=25000×{1-[（1+8%）-6]/8%}=11\1\271.99\1\2（元）

（三）普通年金终值与现值计算的逆运算

1．偿债基金计算

偿债基金计算是年金终值计算的逆运算。年金终值计算是已知年金、年金终值系数，求解年金终值的计算。而作为年金终值计算的逆运算，偿债基金计算则是已知年金终值、年金终值系数，而求解年金的计算。这里求解的年金，被比拟为偿债基金，故称此种计算为偿债基金计算。

由于偿债基金计算是年金终值计算的逆运算，故而有计算公式如下：

式中：1/{[（1+i）n-1]/i}——偿债基金系数。其含义为在未来的第n期期末时点收入或支出一个单位计量货币额。如果在增值率为i的背景下，按照复利的条件将其平分为n份，每一份是多少金额。偿债基金系数亦称为准备率。这就是假设在未来第n期期末时将支付一个单位计量货币债务。而在一定的复利增值率条件下，n期每期均等地准备一个金额，这个金额应该是多大，这就是为偿债而进行的金额准备。

其余符号含义同前。

【例2-5】设某公司在未来第六年年末拟构建一条生产线。预计届时该生产线价格为120万元。为减轻该期间的财务压力，该公司将于今年起每年年末等额地准备一定数额货币，并将这一准备金额置于可以产生9%的增值率的经济环境中，以使六次准备额及相应的增值部分合计起来正好可以用于支付拟购生产线的价格。求解，这一准备额应该是多少。

依据前述公式计算如下：

A=\1\200000×1/{[（1+9%）6-1]/9%}=15\1\203.73\1\2（元）

2．资本回收计算

资本回收计算是年金现值计算的逆运算。年金现值计算是已知年金、年金现值系数，求解年金现值的计算。而作为年金现值计算的逆运算，资本回收计算则是已知年金现值、年金现值系数，而求解年金的计算。这里求解的年金，被比拟为资本的每期回收额，故称此种计算为资本回收计算。

由于资本回收计算是年金现值计算的逆运算，故而有计算公式如下：

式中：1/{1-[（1+i）-n]/i}——资本回收系数。其含义为在现在时点存在一个单位计量货币额。如果在增值率为i的背景下，以复利增值为背景条件将其本身以及相应的增值等额平分为n份进行回收，则每一份回收是多少金额。资本回收系数亦称为回收率。这就是假设现在投资一个单位货币，而于未来n期每期末对该投资以及增值部分进行等额回收，则求解这一回收金额应该是多大。

其余符号含义同前。

【例2-6】设某公司现有货币20万元，拟投入一个AB投资基金，时间一共是四年。该基金承诺给予这一投资以6%的回报，回报形式是在今后的四年中，每年年末等额地支付20万元以及相应的增值。求解这一每年的等额回报额是多少？

依据前述公式计算如下：

A =200000×1/{[1-（1+6%）-4]/6%}=5\1\218.298（元）

3．普通年金时间价值计算的折现率和复利期数的推算

普通年金时间价值计算的折现率和复利期数的推算其实也是一种普通年金时间价值计算的逆运算。这种计算是在已知年金、年金终值或年金现值的条件下，求年金的时间价值系数，从而推算出时间价值系数中的折现率（i）或复利期数（n）的推算。显然，这一计算的关键内容是求解年金的时间价值系数。而决定时间价值系数的因素就是增值率（折现率）i和复利期数n。所以，确定了时间价值系数，就可以在已知i的情况下推算出n，或者在已知n的情况下推算出i。

在具体求解i或n时，涉及求解高次方程的问题，为了简化，实践中通常采用验误法（逐次测试）结合插值法进行这一推算。

【例2-7】设有一投资项目，需于现在时点投入资本总额为30\1\234元。该项目历时四年，回报方式是在项目的四年中，每年年末将回报货币100000元。求解该项目的资本报酬率。

对于该案例资料，依据前述基本原理进行分析可知，该项目是一个已知年金现值，年金和时间价值系数的复利增值期数而求解折现率的问题。因此，这是一个以资本回收计算方式求解时间价值系数进而求解折现率的问题。因此有计算如下：

首先求解该项目的时间价值系数：

该项目的时间价值系数值=30\1\234/100000=3.03\1\24

其次求解该项目的折现率：

[1-（1+i）-4]/i= 3.03\1\24

以验误法解之，得：

i=12%

基于同样的原理，在求解复利增值的期数时，所用技术程序完全一样。

【例2-8】设有一投资项目，现在需投入资本39\1\271元。在今后的若干期间内，每期期末给予8%的回报，每期具体回报金额为100000元。求解按此条件需要多少期间回报才能收回投资和获取8%的投资报酬。

对于该案例资料，依据前述基本原理进行分析可知，该项目是一个已知年金现值，年金和时间价值系数的复利增值率，而求解增值次数的问题。因此，这是一个以资本回收计算方式求解时间价值系数进而求解折现期数的问题。因此有计算如下：

首先，求解该项目的时间价值系数：

该项目的时间价值系数值=39\1\271/100000=3.99\1\21

其次，求解该项目的折现期数：

[1-（1+8%）-n]/8%= 3.03\1\24

以验误法解之，得n=5

（四）特殊年金的时间价值计算

特殊年金主要包括先付年金、递延年金和永续年金。这些年金同普通年金具有显著的共性，同时也存在明显的特殊性。依据特殊年金同普通年金的规律性关系，就可以依据普通年金的时间价值计算模式总结出特殊年金的计算模式或方法。

1．预付年金的终值和现值计算

预付年金同普通年金的规律性联系是：预付年金不过是将普通年金的每一时段内的计量货币金额提前了一个时段。因此，在预付年金的终值和现值计算上，主要是将普通年金的时间价值系数做提前一个时段的处理，由此得到相应的预付年金时间价值折算系数，从而进行折算。

（1）预付年金的终值计算。

依据将普通年金的时间价值系数做提前一个时段即可得到相应预付年金时间价值系数的原则，将普通年金的时间价值系数做提前一个时段的具体方法如下：

①在普通年金终值系数上乘以（1+i）即可得到相同时段数的预付年金终值系数。

由此有：

预付年金终值系数={[（1+i）n-1]/i} ×（1+i）

【例2-9】设自现在起的五年中，每年年初投资8万元到AB投资基金中，该基金承诺对该项投资给予8%的报酬。求解，第五年年末应该获得回报额是多少？

依据上述公式计算如下：

预付FA={[（1+8%）5-1]/8%} ×（1+8%）×80000=50\1\274.32\1\2（元）

②将n+1时段数的普通年金终值系数上扣除1，即得到n时段数预付年金终值系数。这一方法也简称为：年数加一，系数减一。

由此有：

n时段数预付年金终值系数={[（1+i）n+1-1]/i}-1

仍以【例2-9】为例来加以说明：

预付FA=（{[（1+8%）6-1]/8%} -1）×80000=50\1\274.32\1\2（元）

（2）预付年金的现值计算。

同预付年金的终值计算的原理一样，预付年金的现值计算也以下述两种方法而得以实现：

①在普通年金现值系数上乘以（1+i）即可得到相同时段数的预付年金现值系数。

由此有：

预付年金现值系数={[1-（1+i）-n]/i}×（1+i）

【例2-10】设自现在起的五年中，每年年初投资8万元到购买WM企业发展基金，该基金承诺对该项投资给予8%的回报。试评价该项投资的现在价值。

依据上述公式计算如下：

预付PA={[1-（1+8%）-5]/8%}×（1+8%）×80000=34\1\270.14\1\2

②将n-1时段数的普通年金终值系数上加上1，即得到n时段数预付年金现值系数。这一方法也简称为：年数减一，系数加一。

由此有：

n时段数预付年金现值系数={[1-（1+i）-（n-1）]/i}+1

仍以【例2-10】为例来加以说明：

预付PA={[1-（1+8%）-4]/8%} +1×80000=34\1\270.14\1\2

2．递延年金的时间价值计算

递延年金的特征决定了递延年金终值计算与普通年金终值计算无异，故而递延年金的时间价值计算只有现值计算的讨论。依据递延年金的特征，其现值计算可以由如下两种方式得以实现：

（1）由于递延年金的特征就是整个过程的前m个时段的计量货币金额缺损，所以，递延年金的现值计算就是将缺损的计量货币金额补上后使其变化为标准形式的普通年金，计算出这一普通年金的现值后，再从中扣除补上部分的现值即成递延年金的现值。

由此有计算公式如下：

式中的m是指在包含有n个时段的过程中，前面缺损计量货币金额的时段数。

【例2-11】设有一投资机会，在现在时点投资以后，将于第四年年末至第七年年末每年年末给予投资者50000元的等额回报。请在资本市场资本报酬率为8%的背景条件下，评价该项投资的现在价值。

依据上述公式计算如下：

递延PA={[1-（1+8%）-7]/8%}-{[1-（1+8%）-3]/8%}×50000=13\1\263.65\1\2（元）

（2）由于递延年金是普通年金的计量货币金额依次往后推移m个时段，因此将初始时点往后推移至m个时段，使递延年金变成标准的普通年金，计算这一普通年金的现值，再将这一年金现值按照一次性计量货币金额折算至初始时点即得递延年金的现值。

递延PA={[1-（1+i）-（n-m）]/i}×1/（1+i）m

仍以【例2-11】为例来加以说明：

递延PA={[1-（1+8%）-（7-3）]/8%}×1/（1+8%）3×50000=13\1\263.65\1\2（元）

3．永续年金时间价值计算

永续年金的最大特点是其时间价值变化过程所包含的时段数和相应的计量货币金额次数是无穷大的。这一特点表明，作为年金，无论在进行终值还是现值计算时，其复利增值或折现的次数n趋于无穷大。

在终值计算时，年金终值系数的n →∞，则年金终值系数 →∞，年金终值也就是无穷大。

在现值计算时，年金现值系数的n →∞，则年金现值系数 →1/i，年金现值就等于A×1/i。