第一章 论五种正多面体

Concerning the Five Regular Solid Figures

当开普勒开始向第三维跳跃的时候，最后的晴空霹雳震撼了他，完美的立体数字是5，正好是描述行星天体间的区间所需要的数字。这完美的立体，相当恰当地被称作毕达哥拉斯学派的立体和柏拉图的立体，这么叫是因为它们完美地左右对称，它们的各个面都是相同形状和大小的正多边形。这是几何的事实。

——杰米·詹姆斯（Jamie James）

我们在第二卷里提到了如何把平面正多边形拼在一起构成各种立体形状的多面体。我们叙述了与五种正多面体及其他立体形相关的平面正多边形。说明了一共只有五种正多面体，它们为什么被柏拉图主义者称为世界的立体，以及每种多面体各因何种性质与何种元素相联系。现在，在本卷的开篇，我们必须就其本身而不是就其平面正多边形再次讨论这些多面体，但只涉及足够用于天体和谐的内容；读者可在第四卷《哥白尼天文学概要》的第一部分1中找到其余内容。

图中外接于顶点的圆表示一个球，但除了5，要把球看作稍大于这个圆。事实上，它们触及了多面体的所有角顶。尺寸按比例画出，使得5号球内切于4号球中的二十面体，4号球内切于3号球中的十二面体，3号球内切于2号球中的四面体，2号球内切于1号球中的立方体，位于立方体的中心并与它的所有六个面相切。

根据《宇宙的奥秘》，这里我简要地给出五种多面体在宇宙中的次序，其中三种是原生的，两种是次生的。立方体（1）是最外层和最大的，因为它是第一个原生多面体，也因为它本身的形式与整体相联系。接下来是四面体（2），作为立方体剖分后得到的一部分；然而它本身也是原生的，像立方体一样有三线立体角。在四面体内部是十二面体（3），这是最后一种原生多面体，类似于四面体，它当然也好像是由立方体的许多部分，也就是由许多不规则四面体，外加隐藏在中间的立方体组成。下一个是二十面体（4），由于它的相似性，它是次生多面体的最后一个，其立体角多于三条线。八面体（5）在最内层，类似于立方体，它是第一个次生多面体，也是第一个内层多面体，因为它可以被内切，正如立方体是第一个外层多面体，因为它可以被外接。

在图（a）中，四面体ACDB似乎隐藏在立方体中，四面体的任何一个面，例如ACD ，都被立方体ACDB的一个顶点遮掩。在图（b）中，立方体AED似乎隐藏在十二面体中，使得立方体的任何一个面，例如AED，被十二面体的两个顶点，或者被有五个面的多面体ABCDE遮掩。ABCDE可以由两个平面DCA和ABD分为三个不同的四面体。这里你可以看出八面体内接于立方体，二十面体内接于十二面体，四面体内接于四面体。

在这些多面体中，来自不同类型的成员之间有值得注意的所谓婚姻：原生多面体中的立方体和十二面体为雄性，次生多面体中的八面体和二十面体为雌性。2此外还有一个单身或雌雄同体的四面体，因为它可以内接于自身，就像雌性多面体内接于，或者说隶属于雄性多面体那样，并具有与雄性标识相反的雌性标识，也就是与顶点相对的面。

此外，正如四面体是一个元素，内脏，或者说如像雄性立方体的肋骨，从另一个角度看，雌性八面体是四面体的一个元素和一部分；3因此，四面体是这个婚姻的媒婆。

这些夫妻或家庭（组合）之间的主要区别在于：立方体组合中的比是有理的。因为四面体是立方体主体的三分之一，八面体是四面体的一半，又是立方体的六分之一；而十二面体组合中的比却是无理的（不可表达的，ineffabilis），但它是神圣的（divine）。4

因为这两个词在一起使用，读者必须特别注意它们的含义。与神学和神圣事物中的意义不同，“不可表达”这个词在这里，本身并不表示任何崇高庄严，反而表示某种低下品性。在几何学里，正如本书第一卷所述，许多不可表达的数并不参与神圣比。但你必须读第一卷，以便了解什么是神圣比，或者更确切地说什么是神圣分割。因为在一般比例中有四项，在连比例中有三项；但神圣比中的各项除比值相等以外还有一个关系，即较小的两项加起来等于整体。5

因此，十二面体组合中失去的东西，通过无理比值又找回来了，因为无理性服务于神祗。

这个婚姻也派生出一颗立体星，它是通过把十二面体的各个面延展，直到每五个面相聚于一点而产生的。

最后，我们应该注意它们的外接球与内切球的半径比，这个比对四面体是有理的，100 000: 33 333或3: 16，对立方体组合是无理的，但组合的内切球半径是平方可公度的，它等于外接球半径平方的三分之一的平方根，外内比是100 000: 57 7357；在十二面体组合中显然是无理的，约为100 000: 79 4658，对立体星为100 000: 52 5739，它是二十面体边长的一半或两条半径之间距离的一半。

1原文误作第二部分。——译者注

2多面体的这些性别标识首先由开普勒引入。显然，顶点是雄性标识，面是雌性标识。值得注意的是，雄性多面体的顶点比面多。另一方面，雌性多面体的面比顶点多，而对雌雄同体多面体二者相同。在每个组合中，雌性的顶点数与雄性的面数相同，因此，当雌性内接于雄性时，雌性多面体的顶点位于雄性多面体的表面上。

3即四面体各边的中点成为八面体的顶点。

4在立方体-八面体组合中，设立方体的边长为a，则八面体相对角顶连线长度也为a，容易算出它的体积为。而图中内接四面体的边长则为，则它的体积为。在十二面体-二十面体组合中，由后者的外接球半径等于前者的内切球半径，可以求得二者边长之比，然后根据表10中的公式算出二者的体积之比是≈2.188493，其中ξ=可能是因为其中出现了5，开普勒称这个比值是神圣的。——译者注

5这一段按原文译出，其意义扼要说明如下。神圣比即内外比或黄金分割比。一条线段被黄金分割是指分割所成较小线段（b）与较大线段（a）之比等于较大线段（a）与整个线段（a+b）之比。这个比值是。以上这些对理解本卷内容已经足够，无须参考第一卷。——译者注

6由表10可知，四面体的内切球与外接球直径比为1:3。另外，作者所说的一般比例是a:b=c:d，连比例是a:b=b:c，神圣比可以看作一个特定连比例b:a=a:（a+b）中的比值。——译者注

7显然对两个多面体的组合有，外多面体的内切圆半径等于内多面体的外接圆半径。计算见下表，头两行数据取自表10，但把直径改为半径以便与正文统一。为满足上述条件，把第二行各项乘以得到第三2行，于是八面体的边长为。从而组合的内外比是，或外内比是100 000: 33 333。正文中所述，其实是立方体的本身的内外比，或外内比是100 000: 57 735。

——译者注

8类似的计算见下表，头两行数据取自表10，第二行到第三行的变换因子是 其中φ=，且显然有。从而组合的内外比是=0.63147，或外内比是100 000: 63147。同上，正文中所述的十二面体本身的内外比见下表，它是==0.79463，或外内比是100 000: 79463。

——译者注

9对立体星，外接球与内切球的半径比为: 1，所以开普勒的结果应该是100 000: 44 721。开普勒给出的比实际上是外接球半径与通过十二面体边中点所形成内核球的半径比。开普勒正确地计算出后一个球的半径是由立体星的点形成的二十面体（不是前面提到的十二面体中的二十面体）的边长的一半，换句话说，是立体星相邻点之间距离的一半，或者如他所说，是半径（即它们的端点之间）距离的一半。开普勒想说的比的精确值为。