1.2　行列式的性质

行列式的计算是一个重要的问题,但当阶数n较大时,运算相当麻烦,而直接应用定义来计算行列式的值也不太可能.因此有必要介绍一些有关行列式的重要性质,在计算行列式时,应用其性质往往可以简化计算过程,起到事半功倍的效果.

定义1　记

行列式DT称为行列式D的转置行列式.即把原行列式的各行变成相应的列,所得行列式称为转置行列式.

例如,

则D与DT互为转置行列式.

性质1　行列式与其转置行列式的值相等,即

(1-8)

证明　设D=det(aij)的转置行列式为

则行列式DT的元素与行列式D的元素间关系为bij=aij(i,j=1,2,…,n).由行列式的定义知

DT=∑(-1)tb1p1b2p2…bnpn=∑(-1)tap11ap22…apnn

根据定理3及式1-7知

D=∑(-1)tap11ap22…apnn

故DT=D,证毕.

这里特别说明,根据性质1,行列式对于行成立的性质对于列也成立,反之亦然.

性质2　把行列式的两行(列)互换,所得行列式与原行列式绝对值相等,符号相反,即

行与j行间互换)

(1-9)

证明　设行列式

是由行列式D=det(aij)交换i,j两行得到,即当k≠i,j时,akp=bkp;当k=i,j时,aip=bjp,ajp=bip.

故有

D1=∑(-1)tb1p1…bipi…bjpj…bnpn

=∑(-1)ta1p1…ajpi…aipj…anpn

=∑(-1)ta1p1…aipj…ajpi…anpn

这里,1…i…j…n为自然排列,t是排列p1…pi…pj…pn的逆序数.设排列p1…pj…pi…pn的逆序数为t1,由于以上两个排列是通过交换得到的,所以(-1)t=-(-1)t1.

故

D1=-∑(-1)t1a1p1…aipj…ajpi…anpn=-D

证毕.

推论1　如果行列式的某两行(列)的元素对应相等,那么行列式的值为零.

证明　设D为具有推论1特点的行列式,则把元素对应相等的两行(列)互换位置,根据性质2,需要在新行列式前添加负号,但对换后仍是原行列式,得到D=-D,故D=0.

性质3　把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以常数k,相当于用k乘以原行列式,即

(1-10)

证明　由行列式的定义

性质3说明,如果行列式某行(列)的所有元素有公因子,则公因子可以提到行列式外面.

推论2　如果行列式的某一行(列)的元素全部为零,那么行列式的值为零.

证明　由性质3,全是零的行可提出零公因子,故其值为零,即可证之.

推论3　如果行列式的某两行(列)的对应元素成比例,那么行列式的值为零.

证明　由性质3与推论1,即可证之.

性质4　如果行列式的某一列(行)的元素都可看作两项的代数和,那么这个行列式等于该列(行)各取一项且其余列(行)不变的两个行列式之和,即

(1-11)

证明　由行列式的定义知

性质4说明,如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和,则此行列式可以写成m个行列式的和.

性质5　把行列式的某一列(行)的所有元素同乘以一个非零常数k加到另外一列(行)的对应元素上,所得行列式与原行列式相等.即将行列式的第j列乘上数k加到第i列上,会得到(i≠j)

(1-12)

证明　由性质4可得

例1　应用行列式的性质与推论,计算下列行列式的值.

①②

解　由行列式的性质与推论,得到

①

②

上两题大多用到的是行列式性质中的提出公因子的方法,把行列式化得简单一些,再计算相对更容易些.

例2　应用行列式的性质证明

证明　由行列式的性质得到

此题是根据行列式的特点,把第3列加到第一列,再提出公因子得到的.