
附录 指数函数
定义指数函数es的一种方法是采用幂级数,定义方法如下

这个无穷级数对s=σ+jω∈ℂ的所有值都是收敛的(证明略),对任意s∈ℂ都有效。当s=0时,可以从这个定义得到e0=1。
接下来

回顾一下初级代数,例如
2327=210
这是具有相同底数的指数的一个性质(在本例中底数为2)。我们现在证明这个性质对es也成立。首先我们计算:

接着我们计算

通过观察我们可以看出

这个性质就是我们把叫作指数函数的原因。特别地,我们有
ese-s=es-s=e0=1
或是

欧拉公式
设s=jω是一个纯虚数,那么

cos(ω)和sin(ω)的幂级数展开为

表达式
ejω=cos(ω)+jsin(ω)
称为欧拉公式。
注意 m为非负整数,即m∈{0,1,2,…},用欧拉公式可以写为
tme(σ+jω)t=tmeσtcos(ωt)+jtmeσtsin(ωt)
结果证明线性定常微分方程的解仅由Atmeσtcos(ωt)和Btmeσtsin(ωt)组成,这就是指数函数在线性系统理论中频繁出现的原因。
指数函数
当es中的s=σ,即s为一个实数时,

如上所示,当σ=0时可以得到e0=1。同样可以得到
eσ>0对于σ>0
很明显这是因为σ>0时幂级数展开中的每一项都是正数。同样,σ>0时我们还有(如前所示)

因此
eσ>0对于-∞<σ<+∞
图2-7是指数函数的图像,其中σ被x取代。从图中木棍人的角度来看,这个图像是y=ex的倒数图像。
自然对数函数
正如前文所示,从x∈ℝ到y=ex的指数函数总是正的。对于任意y>0,可定义自然对数函数ln(y)作为y=ex的反函数。x=ln(y)的图像如图2-8所示。根据1=e0,我们可以得到ln(1)=0。
现在我们知道:


图2-7 y=ex的图像
这里要解释一下,指数函数将x映射到y=ex,所以它的反函数肯定是从y=ex到x,也就是说,
ln(ex)=x
也就是说,自然对数是y=ex,x∈ℝ的反函数。然后将x=ln(ex)的两边同时对x求导可以得到


图2-8 x=ln(y)的图像
或者
