3.3.2 随机线性系统的可控制性和可观测性

定义（完全可控）：随机线性离散系统完全可控的充分必要条件是存在正整数N，使矩阵

成立。式中F_ik为从i时刻到k时刻的状态转移矩阵，Γ_i-1为过程噪声分布矩阵Γ_i-1，i的简写。

对于等间隔采样的随机线性定常系统，从i时刻到k时刻的状态转移矩阵F_ik可表示为（k-i）个一步状态转移矩阵相乘，即F_ik=Fk-i，则由式（3.79）可得

定义（完全可观测）：随机线性离散系统完全可观测的充分必要条件是对于时刻k，存在某一个正整数N，使得矩阵

成立。

对于随机线性定常系统，从j时刻到k时刻的状态转移矩阵F_jk可表示为（k-j）个一步状态转移矩阵相乘，即F_jk=Fk-j，则由式（3.81）可得

由于式（3.80）和式（3.82）为求和，且（k-i）和（k-i）的变化范围均为0到（N-1），所以还可将式（3.80）和式（3.82）提取公因式再进一步化简成其他表示式，这里不再赘述。若一个随机系统是可观测的，则根据观测数据通过某种算法完全能够获得目标的位置信息。

对于一般系统都有Q_i-1＞0和R_j＞0，则可得对于随机线性定常系统完全可控与完全可观测的充分必要条件分别为

式中n为状态变量维数。

由以上分析可看出，随机线性定常系统的可控制性与系统的状态转移矩阵和过程噪声分布矩阵有关，而可观测性与系统的状态转移矩阵和观测矩阵有关。在P（0|0）、Q（k）和R（k）无法精确获得的情况下，若知道它们可能的取值范围，则可以采用它们可能的较大值，亦即保守值，这种保守设计可以防止实际的估计误差方差矩阵发散[3]。