6.2　一个功利主义社会网络博弈模型

6.2.1　社会网络博弈模型的设定

首先我们设定一个群体当中存在n个参与者，参与者集合为N。每个参与者都可能遇到使自己福利提升的机会。这个机会可能是获利前景很好的创业机会，有可能是更好的投资项目，还有可能是更好的工作机遇。为了把握住这些机会，参与者需要付出一定的成本（资金或时间）。例如，开店需要启动资金，投资楼市需要足够的资金。这些机会对于各个参与者都是随机的。为了更好地把握住将来可能到来的机会，每个参与者都希望最大化自己的“资本实力”，以便在机会来临时可以摆脱资本约束。所谓“资本实力”就是某个参与者所能动用的最大资金量。参与者可以使用自己的资金，也可以向朋友借钱。所谓“资本约束”就是指资金量的约束，资金量不足会导致参与者无法把握住获利机会。

我们的模型关注的是私人借贷而非金融市场。如果金融体系是完美的，参与者就可以通过金融机构获得贷款。但发展中国家的金融体系往往是不健全的，个人不容易获得贷款。发展中国家的居民往往通过亲戚朋友获得必要的资金，而且很多情况下这些资金是不要利息的（Chen et al.2012）。即便是在金融市场比较完善的发达国家，金融市场也不能完全解决人们全部的资金需求。因此在发达国家，亲友之间的私人借贷也扮演着重要的角色。私人借贷对于个人摆脱资本约束、把握未来的机遇非常重要。这一点在发展中国家尤其明显。

因此，人们为了提高自己的资本实力而构建社会网络（人际网络），从而在亲友的支持下摆脱资本约束。(60)另外，人际关系需要维护，这就产生了维护关系的成本。这个成本可以从不同的角度来理解，可以是时间、礼品等等。我们用c_ij来表示参与者i为了维护和参与者j之间的关系所需的成本。如果参与者i为对方付出的越多，就越能够强化与参与者j之间的关系。作为回报，参与者j会在i需要的时候为其提供资金帮助。j所提供的资金量取决于两个因素：j自身的资本实力以及i对j的付出（c_ij）。我们用式（6-1）来表示：

其中ω_ji表示j愿意给i提供的资金量。u_j表示j的资本实力。f（c_ij）是一个关于c_ij的函数且f（c_ij）∈[0，1]，表示j愿意拿出自己资本实力（u_j）当中的多大比例帮助参与者i。f（ ）是一个连续可微，严格递增的凹函数（Concave function），f（0）=0，f（＋∞）=1，且（c）=＋∞。这个假设意味着，本文的社会网络模型是一个有向网络模型（Directed network），而非分析朋友关系的传统的无向网络模型（Undirected kinship network）。在这个有向网络模型中，一个参与者为了获得对方的帮助，需要付出成本，而对方给予的帮助取决于这个（单向的）成本。需要注意的是，i能够从j那里得到资金支持，但同时j的一部分资本实力是从i那里得到的。因此，在计算i的资本实力时，必须把重复计算的i自身的资本实力减去。这就是说，真正重要的是i从邻居那里得到的“纯收益”[u_j-f（c_ji）u_i]。

在这个社会网络中，参与者i的资本实力取决于自有资金和朋友的资本实力。我们用A_i表示参与者i的自由资金，用u_i表示i的资本实力，即i可动用资金的上限。那么i的资本实力可以用式（6-2）表示：

其中Ni是一个集合，集合的元素是网络中与i有关系的参与者（Neighbors），即Ni={j：c_ij>0}。将式（6-2）变形，我们得到u_i的计算公式（6-3）：

考虑网络中的所有参与者，并且将问题用矩阵的形式表达，我们得到式（6-4）：

其中D为n×n对角矩阵，D_ii=1＋。U为n×1矩阵，表示参与者的资本实力。A为n×1矩阵，表示参与者的自有资金。C是一描述网络关系的n阶方阵（Network graph），c_ij=c_ij。f（C）是一个n×n方阵，f（C）_ij=f（c_ij）。如果D-f（C）是可逆的，那么U=[D-f（C）]-1A。记M（C）=[D-f（C）]-1，则U=M（C）A。关于f（　）的设定条件可以保证D-f（C）是一个严格的对角占优矩阵（Diagonally dominant matrix），并且对角线上所有的元素都大于零。而严格对角占优矩阵必然存在逆矩阵（Levy-Desplanques Theorem）。根据Gershgorin Circle Theorem，这个矩阵所有特征值的实部均为正。(61)

另外，每个参与者所付出的成本都要面临一个预算约束，即≤b_i。b_i是指可以用于维护社会关系的资源总量。如果把维护关系的成本看作时间，那么所有参与者面临的预算约束都是相等的。但如果把关系成本理解为礼品，那么参与者的预算约束就可能与财富具有相关性。也就是说，自有资金A_i越大，b_i可能就越大。我们将在后文分别讨论这两种情况。那么每个参与者的目标就是如式（6-5）所示的最大化问题。

现在我们已经完成了对这个社会网络博弈模型的描述。下面将对这个博弈模型纳什均衡的存在性和唯一性进行分析。

6.2.2　纳什均衡的存在性和唯一性

命题1：本文所描述的社会网络博弈模型存在纳什均衡。纳什均衡实现时，所有参与者的战略均处于战略集合的内部，从而构成一个完备网络（Complete network），且预算约束对于所有参与者都是紧的。

命题2：当参与者采用适应性预期的博弈模式时，本文描述的社会网络博弈模型存在唯一的纳什均衡。在纳什均衡状态下，参与者最大化资本实力的原则是f′（c_ij）[u_j-f（c_ji）u_i]=f′（c_ih）[u_h-f（c_hi）u_i]，并且满足预算约束条件=b_i。