导语

历史上，人类通过种种方式获得了海量数学知识。其中的过程理所当然会受到数学家的关注。让人引以为豪的是，数学是最精确的科学。并且，几乎还没有发现数学在哪个方面显得一无是处。古代炼金术师的幼稚工作让化学家无奈苦笑，数学家却发现，同当代任何数学研究相比，古希腊几何学研究和古印度数学运算法则都不落下风，令人折服。令数学家高兴的是，尽管数学在历史上曾有过进展缓慢的时期，但总体上一直在不断进步。

数学的过往令人愉悦，但数学史的启发性也许不输其愉悦性。数学史不仅使我们意识到当前已取得的成就，并且教导我们如何继续进步。德·摩根（De Morgan）曾说：“学习数学早期历史能够帮助我们认识到自己的错误，因此，我们要读数学史。”数学史警示我们，作结论时不可仓促；数学史指出，在科学发展过程中，好的注解非常重要；数学史的经验表明，一些研究领域表面看起来风马牛不相及，却可能存在意料之外的联系。如此一来，研究者得避免过度专注于个别领域；数学史使学生免于浪费时间和精力去解决可能早已解决的问题或者使用其他数学家已证实不可行的方法。数学史告诉我们，攻克堡垒不一定非要正面进攻，当正面攻击被击退后，应当重新侦察，占领周边地带，并找到秘密路径以攻下看似固若金汤的碉堡。这一战略原则到底有多重要，违反这一原则又会如何，从下面的事例中可见一斑。

历史上，数学家们在化圆为方的问题上花费了无数精力，结果没有任何直接尝试有所斩获。自阿基米德（Archimedes）时代，数学家就开始研究这一问题。在无数次失败后，即使数学家拥有了有史以来最强大的工具——微分，一些优秀的数学家还是选择了放弃，而那些固执坚持的人，对该问题的过去一无所知，并且普遍误解了个中情况。正如德·摩根所说：“我们一直在试图用老方法也就是欧几里得假设来化圆为方，仅此而已。可是，请想一想，什么时候发生过这样的事呢？最优秀的研究者未能解决一个问题之后，其他研究者又尝试了相同方法，结果经历了成千上万次彻底失败后，最后反而解决了？”话说回来，化圆为方问题确实已在另一个方向取得了进展。1761年，兰伯特（Lambert）证明了圆的周长与其直径之比是无理数。多年前，林德曼（Lindemann）证明，该比值为超越数，因此仅靠尺子和圆规不可能化圆为方。他用有力证据证实了敏锐的数学家早就有过的怀疑。原来，两千年来，化圆为方大军一直在进攻一座像大山一样坚不可摧的堡垒。

数学史研究的重要性还体现于对数学教师的帮助。如果他们在解题过程和几何证明的冰冷逻辑中能够穿插一些历史评论和轶事，学生的兴趣将会大大增加。在上数学课时，学生听到一些古巴比伦和印度的数学史会很高兴，比如“阿拉伯数字”的发现过程。他们会感到不可思议，人类历史上竟然有数千年没有将哥伦布鸡蛋也就是“0”引入数字；他们会大为震惊，现在一个月就可以学会的符号人们竟然花了这么长时间才发明出来。当他们学会等分定角后，告诉他们为了解决看似简单的角三等分问题，多少人曾用初等几何学做过无数徒劳的尝试，他们八成会被吓到。当他们知道了如何构造一个面积为给定正方形面积的2倍的正方形，告诉他们如果是立方体又该怎么办。告诉他们问题背后的神话渊源，为了平息太阳神阿波罗的怒火，古人试图建造给定立方体祭坛双倍体积的祭坛。并且，数学家们花了很长时间来解决这一问题。学生在学习勾股定理筋疲力尽之后，不妨向他们讲述其发现者的传说。据说，毕达哥拉斯（Pythagoras）为他的这一伟大发现欣喜若狂，向启发他的缪斯女神献上了百牲祭。如果有人对数学训练的价值提出质疑，请引用哲学家柏拉图的雅典学园的入口处题词：“通晓几何者方可入内。”学生学习解析几何学时应该对笛卡尔（Descartes）有所了解，在学习微积分之后，应该了解牛顿（Newton）、莱布尼茨（Leibniz）和拉格朗日（Lagrange）在这一工具发现过程中所起的作用。总而言之，教师大可通过畅谈数学史让学生明白，数学并非死气沉沉，而是一门生气勃勃、不断进步的科学。

亨利·怀特（Henry White）持有类似的观点：“当今人们普遍接受的真理，甚至任何科学中最平常的真理，在过去都曾是疑问或者新颖的理论。确实，长期以来，一些至关重要的知识不被重视，几乎被遗忘。一开始阅读科学史，读者会对过去几个世纪的黑暗感到诧异，但最终却会对前辈所取得的成就产生敬仰。一开始，年轻的学生会轻易假设，每个代数方程式理所当然必须有一个根，最终，他却对征服虚数王国的缓慢过程感到欣喜，对年轻的天才高斯（Gauss）能够证明这一曾经晦涩难懂的基本命题感到高兴。”

意义重大的数学史，对文明史亦有重要贡献。人类的进步与科学思想息息相关。数学和物理研究是科学进步的可靠证明。数学史是一扇窗户，透过这扇窗户，哲学的眼睛可以回顾过往并追溯科学发展的路径。