古罗马数学

古希腊和古罗马的思想差异在数学上最为明显。希腊人统治时期，数学研究兴盛，罗马人统治时期，则产出贫瘠。罗马人在哲学、诗歌和艺术方面，都模仿希腊人，但在数学方面，他们甚至没有模仿的想法。希腊天才数学家的研究发现近在眼前，他们却不屑一顾。在他们看来，一门与实际生活无直接关系的科学不值得任何关注。结果，不仅阿基米德和阿波罗尼奥斯的高等几何被忽视，甚至连欧几里得的《几何原本》也被遗忘了。罗马人所拥有的少数数学知识并非完全来自古希腊人，部分有更古老的源头。事实上，我们并不清楚，古罗马的数学知识到底来源于哪里，以及是如何传播至古罗马的。

似乎“罗马数字表示法”以及古罗马人早期的实用几何图形来自古老的伊特鲁里亚人（Etruscans）。我们能够追溯到的最早时期，伊特鲁里亚人居住在亚诺河（Arno）和台伯河（Tiber）间。

利维（Livy）称，伊特鲁里亚人每年会在密涅瓦圣殿中钉入一枚钉子，表示一年又已过去，罗马人延续了这种习俗。之后，罗马又出现了一种表示数字的方式，一种类似于当今“罗马数字表示法”的符号系统，大概也源于伊特鲁里亚人。值得注意的是，该系统包含其他符号表示法中很少出现的法则，即减法法则。如果一个字母放在另一个较大的值之前，则其值不应与较大的值相加，反而要从中减去。在表示大数时，在字母上加一水平杠以将其增加一千倍。罗马人用十二进制表示分数。

罗马人使用三种计算工具：手指、算盘和算数计算专用表。普林尼（Pliny）说，手指表示法最早出现在努玛国王（King Numa）时期，因为他竖立了杰纳斯（Janus）的双面雕像，杰纳斯的手指数表示一年中的天数365。罗马学者的许多其他文章指出，手指可以辅助计算。实际上，早在公元初期，不仅是罗马，希腊以及整个东方都采用了几乎相同的手指表示法，并且这一方法中世纪期间继续在欧洲使用，目前并不清楚它于何时何地发现。算盘的第二种模式是罗马学校的基础教学内容。罗马学者的记载表明，最常用的算盘用细粉末覆盖，然后通过画直线将其分成几列。每列都装有卵石[卵石的拉丁文是calculi，拉丁文的calculare（计算）一词和英文中的calculate（计算）一词即由此衍生而来]用于计算。

罗马人还使用另一种算盘。这种算盘有一块带凹槽的金属板，凹槽内有可移动珠子，它可用于表示1到9999999之间的所有整数以及一些分数。在两个相邻的图形中，线条代表凹槽，圆圈代表珠子。罗马数字表示凹槽下相应珠子的值，上方较短凹槽中的珠子具有下方珠子五倍的值。因=1000000；因此，在使用时，下方长凹槽中的每个珠子代表1000000，而上方短凹槽中的每个珠子代表5000000。用罗马数字标记的其他凹槽也是如此，从左侧开始的第八个长凹槽（有五个珠子）表示十二进制分数，每个珠子表示，而点上方的珠子表示。在第九栏中，上方的珠子代表，中间的代表，下面的两个珠子每个都代表。示例中图1-9表示运算开始前珠子的位置，图1-10表示数字852。此处必须区分已使用的珠子和未使用的珠子。计数的是c上方的一个珠子（=500）, c下方的三个珠子（=300）, x上方一个珠子（=50）, I下面的两个珠子（=2）;下面四个的珠子；第九栏上方表示的珠子。

图1-9

图1-10

现在假设将加上。操作者可以根据自己的喜好，从最大单位或最小单位开始。自然，最困难的部分是加分数。在这种情况下，第九栏表示的珠子，第八栏点上方的一个珠子和点下方的三个珠子用于表示总和。若加8，则需要用到I上方和下方的所有珠子，以加上10个单位。所以接下来，我们将珠子全部移回原位并在x下方的凹槽中向上移动一个珠子。接着再向上移动x下方的一个珠子，加10；通过将c上方和下方的所有珠子移回原位（下方的一个珠子除外），并向上移动上方的一个珠子，将300加至800，向上移动下方的一个珠子可再增加10000。减法操作相似。

乘法可以以多种方式进行。例如，乘，算盘可能会依次显示以下值：

在除法中，算盘用于表示被除数减去除数或除数的倍数的差，计算过程既复杂又困难。这些算盘计算方法清楚地显示了如何通过一系列连续的加法或减法来进行乘法或除法运算。在这方面，我们猜测他们必须依赖于心算和乘法表，可能也使用了手指计算。但无论采用哪种方法，大数的乘法都必然超出普通计算师的能力范围。为了避免这种困难，罗马人使用了算术表，如有需要可以立即从中获取所需乘积。这种表由维多利亚斯（Victorius）发现，他的表包含分数的特殊表示法，并在整个中世纪一直沿用。维多利亚斯以他发现的“canon paschalis”（复活节规则）方法而闻名，根据这一方法可以找到复活节的正确日期，他于457年公开了这一方法。

利息支付和利息问题在罗马的历史也很悠久。在罗马继承法下产生了许多算术实例，其中有一个尤其特别：一个男人临死前留下遗嘱，如果他怀孕的妻子生了一个儿子，儿子应获得他的遗产的，而妻子应获得遗产的；但是如果生了一个女儿，女儿应得到，而妻子则应得到。碰巧的是妻子生了一对双胞胎——一个男孩和一个女孩。那么应如何执行男子的遗嘱呢？著名的罗马法学家萨尔维亚努斯·朱利安努斯（Salvianus Julianus）决定将庄园划分为七等份，儿子得四份，妻子得两份，女儿一份。

接下来我们介绍罗马几何学。如果你期望在罗马几何学中找到成体系的定义、公理、定理和证明，恐怕你会大失所望。罗马人只有应用几何学，与古老的埃及人一样，他们的几何学仅包含经验规则，应用于勘测。由罗马测量师编撰的文献流传至今，他们在当时被称为“agrimensores”或“gromatici”（测量师）。人们自然而然地认为他们会制定清晰的规则，但实际并非如此，他们留给读者大量的数字示例，让读者自己总结规律。“总的印象是，似乎罗马的测量学比希腊的几何学要早数千年，而且似乎两段时期之间曾发生过大洪水。”他们的某些规则可能是从伊特鲁里亚人那里继承的，但其他规则与海伦的规则相同。其中，他们有一条规则是用三角形边长求三角形面积，以及求等边三角形面积的近似公式, a是边长。但是，后者的面积他们也会用公式和计算，前者海伦并不知晓。很有可能派生于埃及的四边形的面积公式。这个公式被罗马人用来求任意四边形的面积，不仅是矩形。的确，罗马测量师认为仅通过测量周长来确定不规则布局的城市区域就足够准确了。在朱利乌斯·恺撒（Julius Cæsar）时代，罗马人拥有的埃及几何学知识都被移植到了地中海，他下令在全国进行调查以确保征税方法的公平。恺撒还对日历进行了改革，并为此借鉴了埃及的知识。他获得了亚历山大天文学家索西琴尼（Sosigenes）的帮助。

两位罗马哲学家值得我们关注。哲学诗人卢克莱修（Lucretius）在他的《物性论》（De Rerum Natura）一书中提出了无穷多和无穷大的概念，并且和现代一样，将这些术语定义为常量而非变量。但是，卢克莱修的无穷并非由抽象事物构成，而是由物质粒子组成。他口中的无穷多是可数的。他利用了无穷量的整体属性。

几个世纪后，拉丁教会著名神父圣奥古斯丁（St. Augustine）在谈到芝诺时讨论了同类问题。有一次，他和别人讨论思想是否会随着身体的移动而移动，谈到最后，他们考虑了运动的定义。当时，他的表现略显轻浮。有人说，经院主义没有幽默感，这话也许不适合拿来说奥古斯丁。比如说，他当时就说了这样一个故事：“我们的对话结束后，一个男孩从屋子里跑来叫我们吃饭。我就说，这个男孩不仅强迫我们定义运动，还强迫我们看到运动。所以咱们走吧，从这里到那里；因为，那个，如果我没记错的话，那个就是运动。”应当承认奥古斯丁接受了无穷的实际存在，并认识到它不是变量，而是常量。他认为正整数集是无限集。在这一点上，他的立场与他的先驱，拉丁教会的希腊神父奥里根（Origen）完全不同。乔治·康托尔（Georg Cantor）声称，奥里根对无穷实际存在的反对是有史以来针对这一问题最深刻的论断。

公元5世纪，西罗马帝国迅速瓦解。西班牙、高卢和非洲行省这三大分支从腐烂的帝国脱离。476年，西罗马灭亡，西哥特（Visigothic）首领奥多亚克（Odoacer）成为国王。不久之后，意大利在西奥多里克（Theodoric）的统治下被东哥特（The Ostrogothic Kingdom）征服。值得注意的是，这一时期在政治上虽然是一段屈辱历史，但应该是意大利最热衷于研究希腊科学的时期。希腊学者的数学研究文献被编撰整理，并用作教科书。虽然这些文献有许多不足，但却引起了人们的兴趣，直到12世纪，这些都是西方唯一的数学知识来源。在这些希腊学者中，最重要的是波爱修斯（Boethioes，见图1-11）。起初，他是西奥多里克国王（King Theodoric）的宠臣。但后来，由于嫉妒他的廷臣指控他叛国，波爱修斯被监禁，最后被斩首。在监狱里，他写了《哲学的慰藉》。作为数学家，波爱修斯是罗马学者中的巨人，但在希腊大师身边只能算是小矮个。他写作了《算术原理》，本质上只是对尼科马霍斯算术研究的翻译。他还写了一本包含数卷内容的《几何学》。波爱修斯的算术研究没有保留尼科马霍斯的最优秀的一些发现。《几何学》第一卷摘自欧几里得的《几何原本》，其中除定义、公设和公理外，还包含前三卷中的定理，但没有给出证明。如何解释这种遗漏呢？有人认为，波爱修斯拥有的《几何原本》副本不完整；还有一些人认为，他只有希恩整理的版本，并相信其中只有定理来自欧几里得，而证明是由希恩提供的。第一卷，以及其他归于波爱修斯名下的《几何学》的其他各卷，都结合示例讲解了如何用测量室的方法测量平面图形。

图1-11 波爱修斯

波爱修斯几何学研究中与算盘有关的部分颇为知名，这一部分据他说是毕达哥拉斯学派的研究成果。在这一部分中，波爱修斯介绍了大幅改进旧算盘的办法。他不再使用小石子，而是使用了“顶点”（可能是小圆锥），每个顶点上都有一个小于10的数字。这些数字的名称是纯阿拉伯文，或者几乎是纯阿拉伯文，但显然是由后人添加的。波爱修斯在著作中未提及“0”。这些数字与公认起源于印度的西阿拉伯的粉尘数字（Gubar-numerals）极为相似。以上这些问题一直以来争议不断，一些人争辩说，毕达哥拉斯曾去过印度，之后从那里把这9个数字带到了希腊，毕达哥拉斯学派一直在希腊秘密使用这些数字。该假设已被普遍否定，因为不能确定毕达哥拉斯或者他的门徒去过印度，也没有任何希腊学者的记录能够证明，希腊人知道这些顶点，或者他们将任何数字符号与算盘配合使用。而且，起源于印度符号的这些顶点不可能像毕达哥拉斯的时代那样古老。第二种理论则认为，波爱修斯的《几何学》是伪造的，真实写作时间不早于10世纪或可能是9世纪，并且其中的顶点来源于阿拉伯人。但是由卡西奥多拉斯（Cassiodorius，卒于约585年）所写的《百科全书》（Encyclopœdia），提到了波爱修斯的算术和几何研究。对于如何正确解读《百科全书》中的一些内容，目前存在争论。无论如何，有充分证据表明，波爱修斯的几何学研究，或者至少是提到数字的那部分是伪造的。第三种理论“韦普克（Woepcke）的理论”称，亚历山大人于约公元2世纪直接或间接地从印度人那里获得了9个数字，一方面将它们交给罗马人，另一方面又将它们交给西方的阿拉伯人，这种解释最为合理。

值得一提的是，卡西奥多拉斯是第一位在著作中使用与当代算术和代数领域含义相同的“有理”和“无理”两个术语的学者。