7.1 常数项级数的概念与性质

7.1.1 常数项级数的基本概念

1．常数项级数的定义

我们先来看两个具体问题.

例如，《庄子·天下篇》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去剩下的一半，这样的过程可以无限制地进行下去.如果把每天截下的那一部分的长度“加”起来，就是

这就是一个“无穷多个数求和”的例子.不难理解，前n天截下来的长度的总和

随着天数n的不断增大，不断地接近于棒长1．用我们学过的极限知识来处理，可以确定，

也就是说这个“无穷多个数求和”的结果是1.

再如

1＋2＋3＋…＋n＋…，

这也是一个“无穷多个数求和”的例子，记

sn=1＋2＋3＋…＋n.

容易得到，随着 n的无限增大，sn也在无限增大.用我们学过的极限知识来理解，可得到，即这个“无穷多个数求和”的结果是＋∞，因而这个“无穷多个数求和”的结果不存在.

从上面的两个例子可以得到这样的启示：一方面“无穷多个数求和”的结果可能存在，也可能不存在；另一方面，我们可以利用极限来处理“无穷多个数求和”的问题.因此，“无穷多个数求和”不能简单地沿用有限个数相加的概念，而必须建立它自身的概念.

如果给定一个数列u1,u2,u3,…,un,…，则表达式

u1＋u2＋u3＋…＋un＋…

叫作（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作, 即

其中u1,u2,u3,…,un,…叫作级数的项，u1叫作级数的首项，级数的第n项un叫作级数的通项或一般项.

无穷级数的定义只是形式上表达了无穷多个数相加的“和”，怎样理解这个“和”呢？联系前面的“截杖问题”，我们可以从有限项的和出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数相加的“和”的含义.

2．常数项级数的敛散性

级数的前n项和叫作级数的部分和，记为sn，即

当n依次取1,2,3,…时，它们构成一个新的数列

s1=u1, s2=u1＋u2, s3=u1＋u2＋u3, …，

sn=u1＋u2＋u3＋…＋un, …，

称为部分和数列，记为{sn}.

根据这个数列有没有极限，我们引进级数式（7.1）的收敛与发散的概念.

定义7.1 若级数 的部分和数列{sn}收敛于s，即，则称级数 收敛，其和为s，也称级数收敛于s，记为.

若级数的部分和数列{sn}极限不存在，则称级数发散.

级数和s与部分和sn的差称为级数的余项，记为rn，即

rn=s－sn=un＋1＋un＋2＋….

用部分和sn替代级数和s所产生的误差就是这个余项rn的绝对值，即误差是|rn|.

由级数定义可知，研究级数的敛散性就是研究其部分和数列是否有极限，因此，级数的敛散性问题是一种特殊的数列极限问题.

例7.1 判定级数的敛散性.

解 因为，所以该级数的前n项部分和

，而，由定义知该级数收敛，其和为1.

例7.2 无穷级数

叫作几何级数（又称为等比级数）.其中，首项a≠0, q称为级数的公比，试讨论几何级数的敛散性.

解 如果公比q≠1，那么部分和

（1）当|q|＜1时，因为，所以，从而该级数收敛，其和为.

（2）当|q|＞1时，因为，所以，从而该级数发散.

（3）当|q|=1时，分为如下两种情况.

①若q=1，则sn=na→∞（n→∞），该级数发散.

②若q=－1，则部分和

因此不存在，故该级数发散.

综上所述，当|q|＜1时，几何级数式（7.3）收敛且和为；当|q|≥1时，几何级数式（7.3）发散.

例7.3 证明调和级数

发散.

证明 方法1 由不等式ln（1＋x）＜x（x＞0）得，调和级数式（7.4）的部分和

即sn＞ln（1＋n），则不存在，故调和级数发散.

方法2 用反证法证明.

假设调和级数收敛，记其部分和为sn，并设，于是.

一方面n=s－s=0；另一方面

由极限的保号性知，，矛盾，故调和级数发散.

例7.4 甲、乙两个人进行比赛，每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），乙获胜的概率为q（p＋q=1），如果一个选手连赢两局，那么该选手就成为整个比赛的胜者，比赛终止；否则，比赛继续进行.分析甲获得整场比赛胜利的所有可能进程，并求甲最后成为胜利者的概率.

解 首先考虑甲获得整个比赛胜利的所有可能进程：

甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲甲、甲乙甲乙甲乙甲甲……

或者

乙甲甲、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙甲甲……

那么，甲最后成为胜利者的概率为下列级数的和

（pp＋pqpp＋pqpqpp＋…）＋（qpp＋qpqpp＋qpqpqpp＋…）.

这是两个正项等比级数的和，这两个正项级数都是公比为pq的等比级数，由于pq＜1，因此它们的和为，甲最后成为胜利者的概率为.