7.3.2 幂级数及其收敛性

1．幂级数的概念

定义7.5 函数项级数

称为x－x0的幂级数，记作.其中a0,a1,a2,…,an,…为常数，称为幂级数的系数.

特别地，当x0=0时，式（7.12）变为

a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…，

称为x的幂级数，记作, 即

对于形如式（7.12）的幂级数，如果做变换t=x－x0，就转换为形如式（7.13）的幂级数.所以，我们重点讨论形如式（7.13）的幂级数.

2．幂级数的收敛性

对于一个给定的幂级数，它的收敛域与发散域是怎样的呢？即x取数轴上哪些点时幂级数收敛，取哪些点时幂级数发散？

先看一个例子，考查幂级数，因为，由比值审敛法可知，当|x|＜1时，幂级数绝对收敛；当 |x|＞1时，幂级数发散.当x=－1时，幂级数收敛；当x=1时，幂级数发散，所以幂级数的收敛域为[－1,1）.又由前面的讨论可知幂级数的收敛域为（－1,1）.幂级数和，其对应的幂级数的收敛域都是一个以原点为中心的区间.事实上，这是幂级数收敛域的一个共性.下面的阿贝尔定理刻画了幂级数收敛域的这个特征.

定理7.9（阿贝尔定理） 如果幂级数在x=x0（x0≠0）处收敛，则对所有满足不等式|x|＜|x0|的x，幂级数绝对收敛；如果幂级数在x=x0处发散，则对所有∞满足不等式|x|＞|x0|的x，幂级数发散.

证明 （1）若x0是幂级数的收敛点，即级数

收敛.根据级数收敛的必要条件，可得

则数列收敛，其必有界，即存在一个常数M，使得

这样幂级数的一般项的绝对值

因为当|x|＜|x0|时，等比级数 收敛 ，根据定理7.3知级数 收敛，即 绝对收敛.

（2）若幂级数当x=x0时发散，用反证法证明，设有一点x1满足|x1|＞|x0|使级数收敛，根据（1）的结论，级数当x=x0时应收敛，这与假设矛盾，定理得证.

显然，所有的幂级数在x0=0处是收敛的.

定理7.9表明这样一个现象，如果幂级数在点x=x0≠0处收敛，则对于开区间（－|x0|,|x0|）内的任何x，幂级数绝对收敛；如果幂级数在点x=x0≠0处发散，则对于闭区间[－|x0|,|x0|]以外的任何点 x（即 x∉[－|x0|,|x0|]），幂级数发散.这就说明，除去两种极端情况（收敛域仅为x=0或为整个数轴）外，必存在一个分界点R（R＞0），使得幂级数在区间（－R,R）内部处处绝对收敛，在区间[－R,R]外部处处发散，在分界点x=R和x=－R处幂级数可能是收敛的，也可能是发散的.综上所述，得到下面的推论.

推论 如果幂级数不是仅在一点x0=0处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么一定存在一个完全确定的正数R，当|x|＜R时，幂级数绝对收敛；当|x|＞R时，幂级数发散；当x=R和x=－R时，幂级数可能收敛，也可能发散.

正数R叫作幂级数 的收敛半径.开区间（－R,R）叫作幂级数 的收敛区间.再由幂级数在x=R和x=－R处的收敛性就可以决定它的收敛域.幂级数的收敛域是（－R,R）、[－R,R）、（－R,R]或 [－R,R]之一.

若幂级数只在x=0收敛，则规定收敛半径R=0，若幂级数对一切x都收敛，则规定收敛半径R=＋∞，这时收敛域为（－∞,＋∞）.

【即时提问7.3】试分别讨论幂级数在以下3种情况下，收敛半径R与|x0|的大小关系？（1）在x=x0处收敛；（2）在x=x0处发散；（3）在x=x0处条件收敛.

讨论幂级数收敛的问题主要在于收敛半径的寻求，下面给出幂级数的收敛半径的具体求法.

定理7.10 设幂级数的系数全不为零，an, an＋1为相邻两项系数，如果或，则幂级数的收敛半径为

证明 以为例，来给出证明.考查级数的相邻两项之比

（1）如果存在，根据比值审敛法，那么当即 时，级数收敛，从而幂级数绝对收敛；当即 时，级数发散，进而幂级数发散.于是收敛半径.

（2）如果，那么对于任何x≠0，有

所以级数收敛，从而幂级数绝对收敛.于是收敛半径R=＋∞.

（3）如果，那么对于除x=0外的其他一切x值，级数发散，否则由定理7.9知道将有点x≠0使得幂级数收敛，于是收敛半径R=0.

例7.20 求幂级数的收敛区间和收敛域.

解 因为

所以此幂级数的收敛半径，收敛区间是（－5,5）.

在x=5与x=－5处，级数分别为与，前者发散，后者收敛.故级数的收敛域是[－5,5）.

例7.21 求幂级数的收敛区间.

解 因为

所以幂级数的收敛半径为R=＋∞，从而它的收敛区间为（－∞,＋∞）.

例7.22 求幂级数的收敛域.

解 因为

所以幂级数的收敛半径为R=0，则级数仅在x=0处收敛，它的收敛域为{x x=0}.

例7.23 求幂级数的收敛半径.

解 级数缺少奇次幂的项，a2n＋1=0，定理7.10不能直接应用.用比值审敛法来求收敛半径.幂级数的一般项记为．因为

当，即时，级数收敛；当，即 时，级数发散，所以其收敛半径为.

例7.24求幂级数的收敛域.

解 令t=x－1，幂级数变为因为

所以收敛半径R=2.

当t=2时，幂级数成为，此级数发散；当t=－2时，幂级数成为，此级数收敛.因此级数的收敛域为[－2,2）.因为－2≤x－1＜2，即－1≤x＜3，所以原级数的收敛域为[－1,3）.