7.2.2 交错级数及其审敛法

定义7.3 数项级数

或

其中un＞0（n=1,2,…），称为交错级数.

由常数项级数的性质可知，式（7.7）与式（7.8）的敛散性相同，所以我们只讨论式（7.7）的交错级数的敛散性判别方法.

定理7.7（莱布尼茨定理） 如果交错级数满足条件：

（1）un≥un＋1＞0（n=1,2,…）；

（2），

则交错级数收敛，且其和s≤u1，余项的绝对值|rn|≤un＋1.

证明 先证明前2n项的和s2n的极限存在.为此把s2n写成两种形式：

s2n=（u1－u2）＋（u3－u4）＋…＋（u2n－1－u2n）

及

s2n=u1－（u2－u3）－（u4－u5）－…－（u2n－2－u2n－1）－u2n，

根据条件（1）知道所有括号中的差都是非负的.由第一种形式可见数列{s2n}是单调增加的，由第二种形式可见s2n＜u1．于是，根据单调有界必有极限知，

又因为

s2n＋1=s2n＋u2n＋1，

所以由条件（2）知=0，因此.

故．从而级数收敛于和s，且s≤u1.

最后，不难看出余项的绝对值|rn|=un＋1－un＋2＋…，该式中右端也是个交错级数，它满足收敛的两个条件，所以其和小于级数的第一项，也就是说|rn|≤un＋1.

例7.15 判别级数

的敛散性.

● 因为, ，而, n，所以级数收敛.

例7.16判别级数

的敛散性.

解因为, ，所以，从而un≥un＋1, ，所以级数收敛.

注莱布尼茨定理中要求un单调递减的条件不是多余的.例如，级数

是发散的，虽然，当n→∞时，, ，从而数列{un}的一般项un→0，但是u2n－1＞u2n, u2n＜u2n＋1,{un}不具有单调性.同时，un单调递减的条件也不是必要的.例如，级数

是收敛的，但其一般项un趋于零时并不具有单调递减性.以上说明了莱布尼茨定理是判别交错级数收敛的充分非必要条件.