6.2　量子化——旧协变方法

关于物态的超-维拉宿约束的实现和分析方式从本质上看与以前的维拉宿约束的实现和分析方法相同。新的特色是存在两个扇区，即玻色扇区和费米扇区，需要分别研究。而谱线应该由GSO条件截断，这两个扇区由时空超对称相互关联。

6.2.1　对易关系和模展开

在协变规范（将在6.3.5节中介绍）中，坐标和的动力学方程由两维克莱因-戈登方程和自由狄拉克方程，再加上某些约束条件给出。这些坐标的量子化恰是其两维自由场理论。坐标的分析与第4章中的相同，有

在关于傅里叶系数的对易关系中，这导致：

式中，表示开弦或闭弦的模展开式中任一傅里叶系数。对于后者，存在第二套表示。

费米坐标的量子化同样容易。关于坐标的正则反对易关系是

这意指在6.1.4节中引入的模满足：

在后续的讨论中，我们描述了一套模和或者和，分别用来描述开弦或者闭弦的右-动扇区。这很容易包括带有波浪线的左-动闭弦模的振子。

回忆两种不同类型的弦态，在开弦情形中对应于，加号给出了整数模d振子，而减号给出了半整数模b振子。维拉宿约束的零频部分给出了质量壳条件，即

式中，常数表示以后将要描述的规范序效应；

或者

式中，

最低质量平方态对应于福克空间的基态，即

或者

上升算符的一次激发，为每m单位增加了的本征值。类似地，上升算符的一次激发，为每r单位增加了的本征值。

在半整数模的情况中，我们选择一个独特的非简并基态是可能的，这个态被认定为零自旋态；在整数模的情况中，由于有振子，选择一个独特的非简并基态是不可能的。遵守反对易关系：

并与M2算符交换。这恰是狄拉克代数，直至归一化零模为狄拉克度规。若要求狄拉克度规遵守，则按照我们的符号约定和度规约定，有

在每个质量水平上，物态必须提供形如式（6.2.11）的表示，特别是福克空间的基态应该是式（6.2.11）的不可约表示。克利福德代数，即（6.2.11）的表示理论人所共知。不可约表示对应于SO(1,9)旋量。因此，给出整数模d振子的边界条件必须给出费米弦。具有整数模或者半整数模的世界片旋量分别称为费米（或者R）扇区和玻色（或者NS）扇区。正如在玻色子情形中，沿着弦的动量和角动量密度，弦可以描述为与整体对称性相联系的诺特流。对T=1/π，我们发现：

按照模展开式洛伦兹生成子的显示可以通过在式（6.2.13）中插入和的模展开式来给出。守恒荷由下式给出：

式中，

和

是玻色弦理论中的守恒荷。也有来自费米子模的贡献：

在形成的过程中，我们只是把洛伦兹代数的对易表示简单地加在一起。

6.2.2　超-维拉宿代数和零点能

本节主要研究开弦的费米物质场ψ，所有结果可以直接应用到闭弦理论中。为费米物质场ψ在(1+1)-维世界片上建立两种复坐标系，即

在闵氏时空中，玻色弦的普里亚科夫作用量为

式中，T是弦张力；M为弦扫出的二维世界片面积；是世界片上的独立度规；时空度规表示为；。在Z坐标系下，共形规范的普利亚科夫作用量简化为

经典方程与量子理论相对应的方程为

式中，表示平均值。X的共形规范乘积定义为

该定义保证了。关于产生算符、湮灭算符的共形规范乘积约定用符号╪╪表示，幽灵态b与c的共形规范乘积与产生算符、湮灭算符的共形规范乘积满足：

:b(z)c(z'):=╪b(z)c(z')╪+1/z'

（6.2.23）

费米物质场在W坐标系中满足周期条件，所以可进行傅里叶展开，即

可以证明d和b满足的对易关系分别是

据此，d和b可分别视作世界片上费米子的产生算符、湮灭算符，并定义真空态：

我们用世界片上的产生算符、湮灭算符表示Z坐标系下的维拉宿生成元。在R扇区和NS扇区中，维拉宿生成元分别是

式中，会产生常数，可用维拉宿代数作用于相应分支的真空态得

超弦的世界片作用量在Z坐标系下写作：

由式（6.2.30）可得，能量-动量张量算符为

超流为

相应的生成元为

由上述各式不难验证下述维拉宿代数。

在NS扇区：

在R扇区：

所以，超-维拉宿代数在NS扇区与在R扇区具有基本相同的代数关系。上述结果只考虑了费米物质场，若考虑幽灵场，则它们在Z坐标系中的洛伦兹展开式为

它们的对易关系为

幽灵场在Z坐标系中的维拉宿生成元为

因为涉及算符次序，可由维拉宿代数作用在相应扇区的幽灵真空态上而得出：

如果同时考虑X、Ψ、bc和βγ，则系统的总中心荷为零。

按照公式

可以求出系统的零点能，即

在光锥规范下，物理自由度为D-2=10-2=8，系统的总中心荷，系统的零点能为

这两种结果完全相同。由光锥规范给出的玻色弦零点能是a=-(26-2)/24=-1，每个周期玻色自由度的零点能为-1/24。同理可得，每个反周期性的费米自由度的零点能为-1/48；每个周期性的费米自由度的零点能为1/24；每个反周期性的玻色自由度的零点能为1/48。在给定零点能之后，正则量子化对赫尔伯特空间的真正物态的要求是

在式（6.2.45）中，仅包含物质场X和Ψ，而不包含幽灵场。其中R扇区的方程类似于狄拉克方程，同样可得扇区中的零点能。最后得到开弦物理激发态的能谱是

闭弦的能谱计算过程与开弦的能谱计算过程相似，仅超-维拉宿代数等具有独立的左、右两套能谱，闭弦激发态的能谱也由左行波和右行波共同给出：

6.2.3　玻色子发射顶点算符

顶点算符用于构建超弦谱生成代数的物态算符，在方法上很像玻色弦。可以考虑三种情况：第一，来自玻色弦的特殊壳-上玻色态的发射；第二，来自费米弦的特殊壳-上费米态的发射；第三，来自玻色弦的物理壳-上费米态的发射，玻色弦转化成费米弦，反之亦然。要证明无鬼定理，只需要证明在玻色扇区和费米扇区都不存在幽灵就足够了，没必要将玻色子算符转换成费米子算符；反之亦然。所以在证明无鬼定理时不需要构造一个谱生成代数。

我们由玻色态开始考虑玻色子发射。由4.2.3节可知道，物理顶点算符必须具有共形维数J=1，这样零-动量分量才能将物理态映射到物理态。对于当前的问题，这一结论无须更改，但是欲映射物理态到物理态，算符必须与进行交换。

给定一个候选顶点算符V=V(r=0)，设存在另一个算符Ｗ，它对每个r∈Z+1/2，有

注意，要求算符V独立于r，我们限定了Ｗ的选择。当Ｗ是玻色算符时（世界片上），条件合适；当Ｗ是玻色-费米子算符时，需要由反对易子代替。由于

遵守

根据定义

以及共形自旋J算符的定义，有

当且仅当Ｗ具有共形维数J=1/2时，V具有共形维数J=1。

例1，考虑

对=1具有共形维数J=1/2，它是基态超光子在玻色扇区的质量壳条件。相关的顶点算符是

或者

式（6.2.56）中的顶点算符显然具有共形维数J=1，因为每个因子都有共形维数J=1/2，并且它们互换。于是，V是关于超光子基态发射的合适的顶点算符。

例2，第一激发态是由福克-空间态描述的一个无质量矢量，其极化为，动量为κμ。辅助条件意味着·κ=0这个态是物理的。为了构造该态发射的顶点算符，考虑

对于κ2=0，按照要求这个算符具有共形维数J=1/2。对应的顶点算符为

在式（6.2.60）中，因为算符积定义良好，所以具有共形维数J=1，对于物理发射顶点算符满足所有需要。式（6.2.60）表明，顶点算符正是和构成的反对易算符，而式（6.2.56）表明顶点算符正是和构成的对易算符。

算符就是某种运算方法或操作程序的定义，是指一个函数空间到另一个函数空间的映射。对任何函数进行的某项操作都是一个算符，如乘方、开方、偏导、积分、阶乘等。顶点算符代数是共形场论及物理领域中十分重要的一种代数结构，它与数学、物理渊源深厚，应用广泛。这类代数存在3种类型：维拉宿代数，仿射李代数，顶点算符代数。

顶点表示的结构定理：顶点模是所有模的直和，其中μ取遍集合Г，而每个子模同构于——模和B*-模的张量积。

态和顶点的两种类型可以根据它们是否包括奇数或者偶数的Ψ激发态进行区分。若Ｗ是世界片上或者Ψ中的玻色算符，则对易子[Gr,W]给出费米子的顶点算符V，如式（6.2.56）所示；若Ｗ是世界片上或者Ψ中的费米算符，则反对易子{Gr,W}给出玻色子的顶点算符V，如式（6.2.60）所示。弦态被费米顶点算符V发射或者吸收，对应于福克空间态具有偶数的b振荡子激发态，称为态的“奇G宇称”；弦态被玻色顶点算符V发射或者吸收，对应于福克空间态具有奇数的b振荡子激发态，称为态的“偶G宇称”。

看起来很奇怪，玻色子发射能够用费米子算符来描述。这里的算符仅在两维世界片上是费米子算符。事实上，我们被迫截断频谱到偶宇称扇区。这具有从频谱中消除超光子的优点。

来自费米弦（R扇区）的玻色子发射可由同样的方法描述。改变边界条件使得费米弦与玻色弦的区别不能影响顶点算符的局域形式。这些边界条件仅影响Ψ(r)是否要展开为半整数模，正如在式（6.2.58）中或者在整数模中，根据

在联系V到Ｗ的公式中，玻色扇区的算符Gr也必须用费米扇区的Fm代替。由此可见，顶点算符代数与共形场论密切相关。顶点算符代数等价于一个共形场论的手征代数。1988年，Frenkel等三人（FLM）提出顶点算符代数必须满足三个条件：第一，中心荷等于24；第二，不存在权为1的元素；第三，该顶点算符代数是它自身的唯一不可约模。二维共形量子场简称共形场，该场是由适当的黎曼面构成的一种代数结构的线性射影，或者是一个由具有退化厄米形式的局域凸拓扑矢量空间H和黎曼面构成的张量范畴到由H生成的张量范畴的射影。