3.2　波动方程基本原理

一维波动方程早在1865年由圣维南提出，其推导过程如下：

以一个等截面的均质杆件作为研究对象，研究杆件顶端受到锤击作用后，杆件中产生应力波的传播规律，如图3.2.1所示。图中杆件原始横截面积为A，密度为ρb，弹性模量为E0。杆中产生的纵向应力波沿着桩身x方向传播。假定杆在变形时横截面保持为平面，截面有均布的轴向力。杆件质点的各运动参数仅为x和t的函数。问题简化为一维应力波在杆件中的传播，这一假定适用于横截面尺寸远小于应力波波长的细长杆。

如图3.2.1所示，考虑距离杆件顶端x微元体dx（影印所示）的运动状态。以u表示质点的位移，则应变质点的速度

在均质连续介质中质点的位移u是单值连续函数，同时有u＝u（x，t），则根据连续方程的相容性有

考虑杆件上长度为dx的微元体，由牛顿第二定律可知

将F（x＋dx，t）-F（x，t）＝和σ＝F/A带入式（3.2.2）得到

对于均质的弹性杆件，其变形满足胡克定律，亦即应力是应变的单值函数，E0表示杆的弹性模量，有

σ（ε）连续可微，所以有

由式（3.2.3）和式（3.2.5）可得

由于＝E0，故令c2＝＝E0/ρb，c为弹性应力波波速，则

将和v＝代入式（3.2.7）即可得到杆件上各个质点的位移变化情况：

式（3.2.8）就是一维波动方程，描述了自由支撑的细长弹性杆件在一端受到撞击后的应力传播规律。这种情况虽然与实际打桩有区别，但提供了打桩时应力波在桩中传播的基本规律。

20世纪30年代，Isaacs首次将打桩过程作为杆件内应力波的传播问题来研究，指出能量从桩锤传递到桩底不是简单的刚体撞击动力问题，而是撞击应力波在桩身内的传播问题。将反映土的总阻力的参数R引入古典的一维波动方程得到

式中：R为土的总阻力；其他符号意义同前。

一维波动方程可以用来解决以下打桩工程问题：①确定打桩应力，避免由于打桩应力过大造成桩的屈曲破坏；②选择桩锤，确定桩锤能够把桩打入的最大深度并预测打桩锤击数；③优化桩身设计，通过桩的变截面设计实现锤击能量传递的最佳效果；④选择最佳的垫层材料以减低打桩应力且能保持高效率的沉桩；⑤通过实测波形获得打桩阻力及长期承载力。