1.5　传感器的静态特性

传感器的静态特性是指对恒定或缓变的被测量传感器的输出量与输入量之间所具有的关系。因为这时输入量和输出量都和时间无关，所以它们之间的关系，即传感器的静态特性可用一个不含时间变量的代数方程来描述，或以输入量作为横坐标，把与其对应的输出量作为纵坐标而画出的特性曲线来描述。表征传感器静态特性的主要参数有线性度、灵敏度、分辨力和迟滞等。

1.5.1　传感器的静态模型

传感器的静态模型即对传感器静态特性的数学描述方程式。一般情况下，在不考虑传感器特性中的迟滞、蠕变等因素时，传感器的静态特性可用以下多项式代数方程来表示：

式中，y为传感器输出量；x为传感器输入量；a0为零位输出；a1为传感器的线性灵敏度，常用K或S表示；a2，a3，…，an为非线性项的待定常数。

对于实际应用的大多数传感器，其静态特性方程的次数一般不超过五次。比较常见的方程形式有以下3种：

（1）理想线性特性。当a0=a2=a3=…=an=0时，得到

此时，传感器的输出量与输入量为线性关系，如图1.7（a）所示。

（2）只有一次项和偶次方非线性项。如图1.7（b）所示。其特性曲线方程为

这种特性曲线没有对称性，在零点附近较小的输入量范围内接近线性，一般传感器设计中不采用这种特性。

（3）只有一次项和奇次方非线性项，如图1.7（c）所示。其曲线方程为

特性曲线以原点为对称点，在零点附近较宽的输入量范围内接近理想线性。不少差动式传感器具有这种特性。

从不失真测量和减小误差的角度考虑，传感器理想的输出与输入关系最好是式（1-2）描述的线性关系，因为线性关系具有如下优点：

（1）没有非线性误差，无须在信号转换和处理中采用非线性补偿模块。

（2）极大地简化传感器的设计分析工作。

（3）极大地方便了测量数据处理和传感器标定。因为，只要知道输出-输入特性曲线上的两个点（一般为零点和满量程点），就可确定其余各点。

（4）仪表刻度盘可均匀刻度，制作、安装、调试方便，精度高。

实际上，传感器的输出量与输入量关系往往是如图1.7（b）、（c）、（d）所示的非线性关系，必须在传感器或其后续电路中进行非线性补偿，在配有计算机的传感器应用系统中，也可采用软件方式进行非线性补偿。

1.5.2　传感器的静态特性指标

描述传感器静态特性的重要指标有线性度、迟滞、重复性、灵敏度、分辨力和漂移。

1. 线性度（Linearity）

实际应用的传感器的输出量与输入量关系多表现为非线性曲线。但是为了应用上的方便，希望得到线性关系的特性曲线。这时，在总体误差允许的条件下，可以用直线来近似地代表实际曲线。这种方法称为传感器非线性特性的“线性化”，所采用的直线称为拟合直线。在采用拟合直线时，实际输出量与输入量的特性曲线与拟合直线之间的最大偏差称为线性度或非线性误差，其值通常用相对误差来表示，即

式中，eL为线性度（非线性误差），∆max为输出平均值与拟合直线之间的最大偏差；yFS为理论满量程输出值。

非线性误差的大小与拟合直线有很大关系，拟合直线不同，非线性误差也不同。因此，选择拟合直线的主要出发点应是获得最小的非线性误差，即要找到与传感器实际特性曲线最贴近的拟合直线。当然，还应考虑直线拟合计算是否便捷。

常用的拟合方法有理论直线拟合、端点连线拟合、端点连线平移拟合、最小二乘法拟合等，如图1.8所示。其中最小二乘拟合法的拟合精度最高、计算量最大。

最小二乘拟合法按最小二乘原理求取拟合直线，该直线能保证与传感器校准数据的残差平方和最小。设用最小二乘法所拟合的直线方程为

式中，系数b和k分别为拟合直线的截距和斜率，这两个系数可根据传感器的实际校准数据计算求得。

若实际校准测试点有n个，则第i个校准数据与拟合直线上相应值之间的残差为

最小二乘法的原理就是应使残差平方和最小，即最小。

对式（1-8）求k和b的一阶偏导数并令其等于零，即可求得k和b。

把k和b的值代入式（1-6）即可得到拟合直线，然后按式（1-7）求出残差的最大值∆max即可算出非线性误差。

2. 迟滞（Hysteresis）

传感器在正向（输入量增大）和反向（输出量减小）行程中输出-输入特性曲线不重合的程度称为迟滞，如图1.9所示。迟滞现象说明对应于同一大小的输入信号，传感器的输出信号大小不相等，没有唯一性。造成迟滞现象的原因是传感器的机械部分和结构材料方面不可避免的弱点，如轴承摩擦、间隙、紧固件的松动等。

迟滞误差的大小以满量程输出的百分数表示，即

式中，∆Hmax为正向和反向行程间输出的最大绝对误差值，yFS为理论满量程输出值。

3. 重复性（Repeatability）

重复性表示传感器在相同的工作条件下，对输入量按同一方向进行全量程连续多次测试时输出与输入特性曲线的不一致程度，如图1.10所示。重复性好的传感器，误差也小。重复性误差的产生与迟滞现象有相同的原因。

重复性指标在数值上用各测量点上正、反行程校准数据平均标准差的3倍对满量程输出的百分数表示，即

平均标准差的计算方法有两种：极差法和标准法。一般在测量次数较少（R=4～9）时采用极差法。所谓极差，是指某一测量点校准数据的最大值与最小值之差，计算时，先求出各校准点正向、反向行程校准数据的极差，再按式（1-15）计算出总的平均极差，即

式中，Wci为第i个测量点正向行程测量数据的极差；Wfi为第i个测量点反向行程测量数据的极差。

按下式计算出传感器重复性的平均标准差：

式中，dR为与测量循环次数R有关的极差系数，见表1-3。

4. 灵敏度（Sensitivity）

传感器输出量的变化量∆y与引起该变化量的输入量的变化量∆x之比即灵敏度（静态）。灵敏度表达式为

对于线性传感器，灵敏度为常数，该常数值等于传感器特性曲线的斜率。对于非线性传感器，灵敏度是变量，其表达式为K=dydx。

一般要求传感器的灵敏度要高并在满量程内是常数，这就要求传感器的输入-输出特性呈线性关系。

5. 分辨力/分辨率（Resolution）和阈值（Threshold）

分辨力/分辨率是指传感器能检测到的最小输入增量。当用最小输入量增量绝对值表示时，称为分辨力；当用最小输入增量与满量程的百分数表示时，称为分辨率。

阈值是指当传感器的输入量从零开始逐渐增加，在达到了某一最小值后，才能测得输出量的变化，这个最小值就称为传感器的阈值。事实上，阈值是传感器在零点附近的分辨力。

6. 漂移（Drift）

漂移是指在一定的时间间隔内，传感器输出量存在着与被测输入量无关的、不需要的变化。漂移包括零点漂移与灵敏度漂移。

零点漂移或灵敏度漂移又可分为时间漂移（简称时漂）和温度漂移（简称温漂）。时漂是指在规定条件下，零点或灵敏度随时间的缓慢变化；温漂为周围温度变化引起的零点或灵敏度漂移。