1.3 函数的极限

1.3.1 函数极限的定义

数列{xn}可视为定义在正整数集N+上的特殊函数xn=f（n），n∈N+，其自变量的变化是“离散的”。数列{xn}的极限为A，就是：当自变量n取正整数且无限增大（即n→∞）时，对应的函数值xn=f（n）无限接近于确定的常数A. 把数列极限概念中的函数为f（n）而自变量的变化过程为n→∞等特殊性撇开，这样就可以引出函数极限的一般概念. 函数的极限根据自变量的变化过程分为两种情况：

（1）自变量x的绝对值无限增大即趋于无穷大（记作x→∞）时，相应的函数值f（x）的变化情形；

（2）自变量x无限趋近于定点x0（记作x→x0）时，相应的函数值f（x）的变化情形.

我们首先介绍当x→∞时f（x）的极限. 例如函数，从图形上看，无论x取正值且绝对值|x|无限增大（记作x→+∞），还是x取负值且绝对值|x|无限增大（记作x→-∞），函数值都无限趋近于常数0，则称常数0是函数当x→∞时的极限，记作. 下面给出这类极限严格的数学定义.

定义1.3.1　（"ε-X″语言）　设函数f（x）当|x|充分大时有定义，A为常数. 如果对于∀ε>0，总∃X>0，使得当|x|>X时恒有

|f（x）-A|<ε

成立，则称A为函数f（x）当x→∞时的极限，记为

例1.3.1　证明.

证　当|x|>2时，有

|3x+2|≥3|x|-2>2|x|，

从而有

故对∀ε>0，可取，则当|x|>X时，有

所以

定义1.3.1的几何意义如图1-3-1所示.

对于任意给定的正数ε（不论ε多么小），作平行于直线y=A的两条直线y=A-ε与y=A+ε，得到一宽为2ε的带行区域. 不论这带行区域多么狭窄，总能找到一个正数X，使得在区间（-∞，-X）与（X，+∞）内，函数y=f（x）的图形介于这两条水平直线之间.

仿照定义1.3.1可类似地定义.

定义1.3.2　（1）设函数f（x）当x<0且x充分大时有定义，A为常数，

（2）设函数f（x）当x>0且x充分大时有定义，A为常数.

极限称为单侧极限.

定理1.3.1　的充分必要条件是.

例如考察极限，从函数y=arctanx的图形可以看出

虽然两个极限都存在，但是不相等，所以极限不存在.

再比如极限不存在，因为极限不存在.

下面接着研究当x→x0时f（x）的极限. 即是考察当|x-x0|，（x≠x0）无限小时，函数f（x）的变化趋势. 如果此时函数f（x）无限接近于某个常数A，则表明对于任意给定的正数ε（不论ε多么小），只要|x-x0|，（x≠x0）充分小，就可使得

|f（x）-A|<ε.

由此得定义1.3.3.

定义1.3.3（"ε-δ″语言）　设函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义，A为常数. 如果对于∀ε>0，总∃δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，恒有

|f（x）-A|<ε，

则称A为f（x）当x→x0时的极限，记为

对于函数极限的定义说明以下几点：

（1）ε的任意性　与数列极限定义1.2.1中ε的含义相仿，本定义中ε也是任意给定的正数，究竟小到什么程度是没有限制的，ε的作用是用来衡量f（x）与A接近的程度.

（2）δ的存在性　δ是用来衡量自变量x与定点x0的接近程度. 一般地，ε越小，δ也相应地越小. 但δ也不是由ε唯一确定的，重要的是它的存在性.

（3）定义中“0<|x-x0|”表示在研究函数f（x）当x→x0时的极限时，主要是研究f（x）在点x0附近的变化趋势，与f（x）在点x0处是否有定义以及有定义时f（x0）为何值并无关系. 另外，x→x0的方式是任意的，可以从点x0的左侧趋于x0，也可以从点x0的右侧趋于x0.

（4）定义的几何意义如图1-3-2所示.

任意画一个以直线y=A为中心线、宽为2ε的水平带域（无论多么窄），总存在以x=x0为中心线、宽为2δ的垂直带域，使得落在垂直带域内的函数图形全部落在水平带域内，但点（x0，f（x0））可能例外（或不存在）.

例1.3.2　证明.

证　对于∀ε>0，要使得

|f（x）-A|=|（2x+1）-3|=2|x-1|<ε，

即

只要取即可. 则对于∀ε>0，存在，使得当|x-1|<δ时，恒有

|（2x+1）-3|<ε，

所以

例1.3.3　证明.

证　这里函数在点x=1是没有定义的，但是函数当x→1时的极限是否存在与它并无关系. 事实上，∀ε>0，将不等式

约去非零因子（x-1）后，就化为

|x+1-2|=|x-1|<ε，

因此只要取δ=ε，那么当0<|x-1|<δ时，就有

所以

例1.3.4　证明.

证　对于∀ε>0，由于

因此要使得|sin x-sin x0|<ε，只需要|x-x0|<ε，故取δ=ε>0，则当0<|x-x0|<δ时，恒有

|sin x-sin x0|<ε

成立，所以

上述x→x0时函数f（x）的极限概念中，自变量x→x0是指x向x0无限接近（左侧、右侧都要无限接近），如果x仅从x0的左侧趋于x0（即x<x0）时，相应的函数值f（x）无限趋近于常数A，则称A为f（x）在点x0的左极限，记为；类似地可以定义f（x）在点x0的右极限，记为或f（x0+）=A.

定义1.3.4　（1）设函数f（x）在x0的左邻域内有定义，A为常数，

，使得当x0-δ<x<x0时，恒有|f（x）-A|<ε.

（2）设函数f（x）在x0的右邻域内有定义，A为常数.

，使得当x0<x<x0+δ时，恒有|f（x）-A|<ε.

函数的左右极限统称为单侧极限.

由x→x0时函数f（x）的极限概念以及单侧极限的定义可得下面的定理.

定理1.3.2　的充分必要条件是.

例1.3.5　讨论绝对值函数当x→0时f（x）的极限.

解　因为

所以当x→0时f（x）的极限存在，且

例1.3.6　设函数，讨论当x→1时函数f（x）的极限.

解　因为

左右极限都存在但不相等，所以当x→1时函数f（x）的极限不存在.

我们注意到，在例1.3.6中，函数f（x）在点x=1处没有定义，但这并不影响函数在该点极限的存在与否.

1.3.2 函数极限的性质

至此，我们已经定义了6种类型的函数极限：

这些极限都具有与数列极限相类似的一些性质. 下面仅以为例，其他类型的性质可以类似地阐述并证明，只要在相应的部分做适当的修改即可.

定理1.3.3（唯一性） 若极限存在，则此极限是唯一的.

证　（反证法）假设当x→x0时函数f（x）有两个不同的极限A，B，不妨设A<B. 由于，所以对，存在δ1>0，当0<|x-x0|<δ1时，总有

同理，因为，所以对上述，存在δ2>0，当0<|x-x0|<δ2时，总有

取δ=min{δ1，δ2}，当0<|x-x0|<δ时，上述两个不等式同时成立. 但由（1.3.1）有

由（1.3.2）有

这是一个矛盾，从而证明只有一个极限.

定理1.3.4（局部有界性）　若极限存在，则存在x0的某去心邻域，使得f（x）在内有界.

证　设，当取ε=1时，存在相应的δ>0，使对一切，总有

|f（x）-A|<1，

从而推出

|f（x）|=|f（x）-A+A|≤|f（x）-A|+|A|<1+|A|.

这就说明函数f（x）在内有界.

定理1.3.5（局部保号性）　若极限（或A<0），则对任意正数r<A（或r<-A），存在x0的某去心邻域，使得对一切，总有f（x）>r>0（或f（x）<-r<0）.

证　设，取ε=A-r>0，存在相应的δ>0，使对一切，有

|f（x）-A|<A-r，

即

0<r=A-（A-r）<f（x）<A+（A-r）.

类似可证A<0的情况.

定理1.3.6　若在x0的某去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且极限，则A≥0（或A≤0）.

证　（反证法）假设上述结论不成立，即设A<0，那么由定理1.3.5就有在x0的某去心邻域内f（x）<0，这与f（x）≥0的假设矛盾. 所以A≥0.

习题1-3

1. 从函数的图形观察极限否存在，若有极限等于什么？

（1）

（2）f（x）=ax（分11 a>1，22 0<a<1两种情况），当x→0，x→2，x→-∞，x→+∞，x→∞时；

（3），当x→0，x→0+，x→0-，x→1+，x→1-，x→1时.

2. 根据函数极限的定义证明：

3. 当x→2时，y=x2→4. 问δ等于多少，则当|x-2|<δ时，|y-4|<0.001？

4. 若函数在x→0时极限存在，求常数a的值.

5. 求，当x→0时的左右极、右极限，并说明它们在x→0时的极限是否存在.

6. 证明：若x→+∞时及x→-∞时，函数f（x）的极限都存在且都等于A，则.