§2.3　逆矩阵

解一　元线性方程ax=1，当a≠0时，存在一个数是该方程的解，此时称a-1为a的倒数，也称为a的逆数.

由于单位矩阵E在矩阵的乘法运算中的作用相当于数1在数的乘法中的作用，那么是否也存在一个类似于a-1的矩阵（记为A-1），使AA-1=A-1A=E呢？若有，则称A可逆，A-1称为A的逆矩阵.

定义10　设A为n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使

AB=BA=E，　　（2-11）

则称矩阵A是可逆的，并称矩阵B为A的逆矩阵（或逆矩阵）.

由定义不难发现：

（1）由式（2-11）可以看出，A与B的地位是平等的，故A，B两矩阵互为逆矩阵，也称A是B的逆矩阵；

（2）单位矩阵E是可逆的，即E-1=E；

（3）零矩阵是不可逆的，即取不到B，使OB=BO=E；

（4）如果A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的.

事实上，设B，C都是A的逆矩阵，则有

B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C.

A的逆矩阵记为A-1.即若AB=BA=E，则B=A-1.

定义11　若n阶方阵A的行列式|A|≠0，则称A是非奇异矩阵（或非退化矩阵），否则称A为奇异矩阵（或退化矩阵）.

定理1　n阶方阵A可逆⇔|A|≠0，即A是非奇异矩阵，且当A可逆时

证　必要性.因为A可逆，由定义有AA-1=E.故|A||A-1|=|E|=1，所以|A|≠0.

充分性.由例11知，AA*=A*A=|A|E.

由于|A|≠0，故.

由定义10知，A可逆，且.

推论设A，B都是n阶方阵，若AB=E（或BA=E），则A，B都是可逆矩阵，且A-1=B，B-1=A.

证　因为AB=E，故有|A||B|=|E|=1，从而|A|≠0，|B|≠0.根据定理1知，A，B均可逆，故

A-1=A-1E=A-1（AB）=（A-1A）B=EB=B.

同理，B-1=A.

注意：　由推论知，在证明A可逆时，只需验证AB=E或BA=E中一个成立即可.

可逆矩阵还具有以下性质：

（1）若A可逆，则A-1亦可逆，且（A-1）-1=A；

（2）若A可逆，则AT亦可逆，且（AT）-1=（A-1）T；

（3）若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且；

（4）若A，B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且（AB）-1=B-1A-1；

（5）若A可逆，且.

性质（1）、（2）、（5）的证明由读者完成，以下仅证明性质（3）、（4）.

证　性质（3）因为

所以由推论知，λΑ可逆，且 .

性质（4）因为

（AB）（B-1A-1）=A（BB-1）A-1=AEA-1=AA-1=E，

所以由推论知，AB可逆，且（AB）-1=B-1A-1.

注意：　性质（4）可推广到有限个可逆方阵相乘的情形，即若A1，A2，…，Ak为同阶可逆方阵，则A1，A2，…，Ak可逆，且 .

例1　如果A=，其中ai≠0（i=1，2，…，n）.验证

证　因为

所以

例2　判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵：

解　求得，所以A可逆，又因为

A11=2，A21=6，A31=-4，

A12=-3，A22=-6，A32=5，

A13=2，A23=2，A33=-2，

得

所以

例3　证明矩阵无逆矩阵.

证　假定A有逆矩阵B=（bij）2×2使AB=BA=E2，则

但这是不可能的，因为由 将推出0=1的谬论.因此A无逆矩阵.

例4　设，求矩阵X使其满足AXB=C.

解　若A-1，B-1存在，则用A-1左乘上式，B-1右乘上式，有

A-1AXBB-1=A-1CB-1，

即　　X=A-1CB-1.

由例2知，|A|≠0，而|B|=1≠0，故知A，B都可逆，且

于是

例5　设，求An.

解　　，

A=PΛP-1，A2=PΛP-1PΛP-1=PΛ2P-1，…，An=PΛnP-1，

故