§2.1　矩阵的概念

2.1.1　矩阵的定义

线性方程组是经济研究和经济管理中常见的一类数学模型，第1章仅对未知量和方程个数相同的线性方程组进行了讨论，而未知量和方程个数不相同时的线性方程组，可设为

它的解还没有讨论，不过可以明显地感觉到其解完全取决于未知量前面的系数及常数项，取决于由这些数构成的一个矩形数表，即

例如，设有线性方程组

未知量前面的系数及常数项构成一个矩形表，即

又如，某企业生产四种产品，各种产品的季度产值（万元）分别如表2-1所示.

则该企业各季度产值可以用数表表示成

从数表中可以看出该企业各种产品季度产值，同时也揭示了产值随季度变化的规律、季增长率和年产量等情况.在实际中，这种数表还有许多，如果不考虑这些数字的具体含义而抽象出来，这种数表就称为矩阵.

定义1　由m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）按一定次序排列成的m行n列的矩形数表

称为m行n列矩阵，或m×n矩阵，简称矩阵.这m×n个数aij称为矩阵A的元素，简称为元；数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i，j）元.

式（2-3）可简记为A=（aij）m×n，m×n矩阵A也记为Am×n.一般矩阵用大写字母A，B，C，…表示.

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.

定义2　两个矩阵的行数相等，列数也相等时，则称它们是同型矩阵.

定义3　如果A=（aij）与B=（bij）是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即aij=bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B.

2.1.2　几种特殊矩阵

1.行矩阵和列矩阵

当m=1时，

A=（a11，a12，…，a1n）

称为行矩阵（在第4章中也称行向量）.

当n=1时，

称为列矩阵（在第4章中也称列向量）.

2.零矩阵

元素都是零的矩阵称为零矩阵，记为O.注意不同型的零矩阵是不同的.例如

是不同的零矩阵.

3.方阵

m=n的矩阵（又称n阶方阵）记为An或A.

4.三角矩阵

如果n阶方阵A=（aij）中的元素满足条件

aij=0（i>j）（i，j=1，2，…，n），

即A的主对角线以下的元素都为零，则称A为上三角矩阵.类似地，当i<j时，aij=0，称为下三角矩阵.如

分别为n阶上三角矩阵和n阶下三角矩阵.

5.对角矩阵

主对角线以外的所有元素都为0的方阵

称为对角矩阵.

如果对角线元素a11=a22=…ann=a，则称A为数量矩阵，记为aE.

6.单位矩阵

主对角线上元素都为1的对角矩阵称为n阶单位矩阵，记做En或E.

7.对称矩阵

设A为n阶方阵，如果满足

aij=aji（i，j=1，2，…，n），

则称A为对称矩阵.

对称矩阵的特点：它的元素以主对角线为对称轴对应相等.例如，

均为对称矩阵.

8.反对称矩阵

设A为n阶方阵，如果满足

aji=-aji　　（i，j=1，2，…，n），

则称A为反对称矩阵，显然反对称矩阵的主对角线元都是零.例如，

均为反对称矩阵.

矩阵的应用非常广泛，下面仅举几例.

例如，四个城市间单向航线如图2-1所示，若令

则图2-1可用矩阵表示为

一般地，若干点之间的单向通道都可用类似的矩阵表示.

例如，n个变量x1，x2，x3，…，xn与m个变量y1，y2，y3，…，ym之间的关系式

表示一个从变量x1，x2，x3，…，xn到变量y1，y2，y3，…，ym的线性变换，其中，aij为常数，线性变换（2-4）的系数aij构成矩阵A=（aij）m×n.给定了线性变换（2-4），它的系数所构成的矩阵（称为系数矩阵）也就确定.反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定.在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系.

如线性变换

对应n阶方阵

也可记为

A=diag（λ1，λ2，…，λn）.

由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可以利用线性变换来解释矩阵的含义.

例如，矩阵所对应的线性变换

可看为xOy平面上把点P（x，y）变为点P1（x，0）的变换（见图2-2），由于P1（x，0）是点P（x，y）在x轴上的投影（也就是向量 是向量 在x轴上的投影向量），因此这是一个投影变换.