1.1 非高斯随机分布控制系统建模方法现状

1.1.1 B样条模型

由于随机分布控制系统输出的是PDF函数，因此在建模方法上与传统系统有所区别。输出PDF模型就是采用基函数逼近法，用基函数及其权值表示输出PDF。大多数模型都是把输出PDF的控制和基函数权值控制统一起来，把权值作为中间控制变量，然后建立权值的动态模型。目前，输出PDF采用最多的建模方法就是基于样条的函数逼近方法[1][20][21]。它们分别为线性B样条模型、平方根B样条模型、有理B样条模型及有理平方根B样条模型。显然，采用B样条逼近方法时，系统建模准确度和系统控制的效果与B样条模型的参数的选取有着直接的关系。B样条模型具有很多优点，实现了输出PDF的近似权值与控制输入之间的解耦，然而在ARMAX模型中，输出PDF可以直接用解析表达式表示，可见这样的PDF描述精度更高。

1.1.2 输入输出ARMAX模型

模型同输入序列相关，输出序列和噪声项通过ARMAX模型传递，其中的噪声项为已知PDF的有界随机分布，这样系统的输出PDF由输入控制并与噪声项相关。与B样条模型不同的是，这类模型的动态关系是由ARMAX模型描述的[22]。但是，与传统的ARMAX不同，这类模型的噪声项没有特别的假定。而且这类模型可以通过物理性质和输入输出数据建模。

输入输出PDF的ARMAX模型可以是线性，也可以是非线性，甚至是随机参数的ARMAX模型。对于线性ARMAX模型，PDF的形状不能任意控制而只能是噪声项的PDF在空间上的平移。这类模型的控制设计主要原理是利用概率的相关理论来获得输出PDF的参数形式及设定预期的PDF的表达式来获得。如果ARMAX模型的参数也具有随机特性，则可以采用拉普拉斯变换来简化输出PDF的获取。如果这些随机参数的特性事先并不知道，则首先需要采用在线辨识的方法来获得模型。

1.1.3 RBF样条建模和神经网络PDF建模

对随机分布系统的建模而言，还有RBF（Radial Basis Function，径向基函数）样条建模方法和神经网络PDF建模方法。对于RBF样条逼近法，通常选高斯形式的RBF，每个基函数都可以用中心和宽度来决定形状[24][25]。与B样条基函数相比，RBF基函数的调整比较灵活，可以通过参数的调节实现基函数的优化，使得对输出PDF的逼近精度得到提高。对于多输出系统，采用B样条神经网络建模并不方便。为了克服这个缺陷，可以采用神经网络建模方法[26][69]，如采用多层感知（Multi-Layer Perception，MLP）神经网络[69]来获得相应的模型。这类模型与B样条模型不同的是神经网络是用来建立系统的动态关系，而不是直接逼近输出PDF。目前建立的模型固定MLP网络为两层MLP，输出PDF也采用平方根来描述，则控制输出PDF的形状就可以通过控制MLP的权值来实现。上述B样条基函数和RBF基函数方法都是首先建立权值和输出PDF的关系，然后再考虑权值和系统输入的动态关系。而神经网络方法直接建立了输出PDF和系统输入的动态关系。这一方法适用于多输出的SDC系统。