3.4 故障诊断

当故障被检测出来后，故障诊断的目的就是估计出故障的幅值。记X=[xT，uT]T∈RN（N=n+m），其中，X∈Ad⊂RN，Ad是一个紧集。，其中。

RBF神经网络逼近非线性函数的好坏取决于权值、高斯函数的中心和宽度。在实际应用中，很难选择高斯函数的中心和宽度，因此，在本章中提出利用自适应调整RBF神经网络的中心和宽度，进而使得RBF神经网络逼近系统中发生的故障。

系统故障模型如下。

其中，W*、d*、σ*分别是理想权值矩阵、中心和宽度向量；∈（X）代表RBF神经网络逼近误差；关于高斯函数的符号表述分别为S（X，d*，σ*）=si，，W*∈Rn×q，S（X，d*，σ*）∈Rq×1，di*∈Rn×1，，σ*∈Rq。其中，k0=n×q，q是神经网络隐含层的神经元个数。

假设3.4 对于任意一个X∈Ad，存在理想权值矩阵W*和理想向量d*、σ*，并且权值矩阵和中心、宽度向量都是有界的，即，，。其中，为常矩阵，、均为常向量，使得。

式（3.6）进一步表述为

故障诊断观测器构造如下。

其中，是系统状态的估计；K（t）是故障观测器的增益；ε（t）是系统残差。

很显然，估计权值矩阵的初始条件应该满足，这样就可以使得在系统不发生故障之前神经网络的输出为零。

记观测器状态误差为

由式（3.1）和式（3.19），可以得到动态误差方程为

令并结合引理3.1，式（3.20）可以进一步表示为

其中，，。

以为中心的泰勒展开可以表示为

其中，，，，。

这样可以进一步表示为

其中，。将式（3.22）代入式（3.21），误差系统可以表示为

其中，。

引理3.2 如果神经网络的权值、中心、宽度的调整率满足式（3.24）～式（3.26），则v在集合Ad中是有界的。

其中，，，，M∈R1×n，β、βd、ai、bi、γ、γd、γσ是设计的参数。

证明：参数调整率式（3.24）～式（3.26）中的参数、、分别约束在紧集凸区域、、内，即对于t＞0，、、，结合假设3.1和高斯函数的性质，下式是有界的。

引理3.3 神经网络的权值、中心、宽度的调整率式（3.24）～式（3.26）使得以下3个不等式成立。

证明：

当，时，有

可以得出如下结论。

（1）当，时，。

（2）若，不能同时满足，则。

式（3.28）和式（3.29）的证明可以按照式（3.27）的证明过程进行推导。

定理3.3 对于满足假设3.1的非线性故障系统式（3.18）、状态观测器式（3.19）和误差系统式（3.21），如果神经网络权值、中心和宽度按照式（3.24）～式（3.26）给定的调整率更新，再有PB0=（ΣD）TM成立，那么e（t）是一致有界的，即e（t）∈L∞，其中P与定理3.1相同。

证明：给出Lyapunov函数如下。

矩阵Q也与定理3.1相同。结合PB0=（ΣD）TM，，对Lyapunov函数求一阶导数。

其中

选择合适的矩阵P和Q，且α＜0，如果，则。所以，e∈L∞，，，也即最终所有参数都是一致有界的。