5.1 T-S模糊模型

T-S（Takagi-Sugeno）模糊模型由Takagi和Sugeno两位学者在1985年提出。该模型的主要思想是将非线性系统用许多线段相近地表示出来，即将复杂的非线性问题转化为在不同小线段上的问题。

5.1.1 T-S模糊模型的形式

前面介绍的为传统的模糊系统，属于Mamdani模糊模型，其输出为模糊量。另一种模糊模型为T-S模糊模型，其输出为常量或线性函数，其函数形式为

y=a

T-S模糊模型与Mamdani模糊模型的区别在于，一是T-S模糊模型输出变量为常量或线性函数；二是T-S模糊模型输出为精确量。

T-S型的模糊推理系统非常适合于分段线性控制系统，例如在导弹、飞行器的控制中，可根据高度和速度建立T-S型的模糊推理系统，实现性能良好的线性控制。

5.1.2 仿真实例

设输入X∈[0，5]，Y∈[0，10]，将它们模糊化为两个模糊量，即“小”和“大”。输出Z为输入（x，y）的线性函数，模糊规则为

If X is small and Y is small then Z =-x＋y-3

If X is small and Y is big then Z =x＋y＋1

If X is big and Y is small then Z =-2y＋2

If X is big and Y is big then Z =2x＋y-6

仿真程序见chap5_1.m。采用高斯隶属函数对输入进行模糊化，模糊推理系统的输入隶属函数曲线及输入／输出曲线如图5.1和图5.2所示。

通过命令showrule（ts2）可显示模糊控制规则，共以下4条：

（1）If（X is small）and（Y is small）then（Z is first area）（1）

（2）If（X is small）and（Y is big）then（Z is second area）（1）

（3）If（X is big）and（Y is small）then（Z is third area）（1）

（4）If（X is big）and（Y is big）then（Z is fourth area）（1）

仿真程序：chap5_1.m

5.1.3 一类非线性系统的T-S模糊建模

考虑如下非线性系统[1]

其中，x1（t）∈[-1，1]，x2（t）∈[-1，1]。

上式可写为

其中，x（t）=[x1（t）　x2（t）]T。

定义

则

考虑x1（t）∈[-1，1]，x2（t）∈[-1，1]，则

针对z1（t），采用模糊集M1（z1（t））和M2（z1（t））来描述，针对z2（t），采用模糊集N1（z2（t））和N2（z2（t））来描述。采用三角形隶属函数分别描述z1（t）和z2（t）的模糊集，如图5.3和图5.4所示。隶属函数设计为

将模糊集模糊化为两个模糊量，即“小”和“大”。模糊规则为

Rule1：If z1（t）is Big and z2（t）is Big then （t）=A1x（t）

Rule2：If z1（t）is Big and z2（t）is Small then （t）=A2 x（t）

Rule3：If z1（t）is Small and z2（t）is Big then （t）=A3 x（t）

Rule4：If z1（t）is Small and z2（t）is Small then （t）=A4 x（t）

结合式（5.4）~式（5.6），可得

模糊T-S模型输出为

其中

h1（z（t））=M1（z1（t））×N1（z2（t））

h2（z（t））=M1（z1（t））×N2（z2（t））

h3（z（t））=M2（z1（t））×N1（z2（t））

h4（z（t））=M2（z1（t））×N2（z2（t））

可见，通过T-S模糊建模，可将非线性系统式（5.2）在x1（t）∈[-1，1]，x2（t）∈[-1，1]域内转化为线性系统的形式。

仿真程序：

（1）M1（z1（t））和M2（z1（t））隶属函数：chap5_2.m

     %Define N+1 triangle membership function
     clear all;
     close all;
     z1=-1:0.01:1;
     M1=(z1+1)/2;
     M2=(1-z1)/2;
     figure(1);
     plot(z1,M1);
     hold on;
     plot(z1,M2);
     xlabel('z1)';
     ylabel('Degree of membership)';

（2）N1（z2（t））和N2（z2（t））隶属函数：chap5_3.m

     %Define N+1 triangle membership function
     clear all;
     close all;
     z2=0:0.01:4;
     N1=z2/4;
     N2=(4-z2)/4;
     figure(1);
     plot(z2,N1);
     hold on;
     plot(z2,N2);
     xlabel('z2)';
     ylabel('Degree of membership)';