
4.2 间接自适应模糊控制
4.2.1 问题描述
考虑如下n阶非线性系统

其中,f和g为未知非线性函数,u∈Rn和y∈Rn分别为系统的输入和输出。
设位置指令为ym,令

选择K=(kn,…,k1)T,使多项式sn+k1s(n-1)+…+kn的所有根部都在复平面左半开平面上。
取控制律为

将式(4.9)代入式(4.7),得到闭环控制系统的方程

由K的选取,可得t→∞时e(t)→0,即系统的输出y渐近地收敛于理想输出ym。
如果非线性函数f(x)和g(x)是已知的,则可以选择控制u来消除其非线性的性质,然后再根据线性控制理论设计控制器。
4.2.2 自适应模糊滑模控制器设计
如果f(x)和g(x)未知,控制律式(4.9)很难实现。可采用模糊系统和
代替f(x)和g(x),实现自适应模糊控制。
1.基本的模糊系统
以来逼近f(x)为例,可用以下两步构造模糊系统
。
(1)对变量xi(i=1,2,…,n),定义pi个模糊集合。
(2)采用以下条模糊规则来构造模糊系统

其中,li=1,2,…,pi,i=1,2,…,n。
采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器,则模糊系统的输出为

其中,为xi的隶属函数。
令是自由参数,放在集合
中。引入向量ξ(x),式(4.12)变为

其中,ξ(x)为维向量,其第l1,l2,…,ln个元素为

2.自适应模糊滑模控制器的设计
采用模糊系统逼近f和g,则控制律式(4.9)变为


其中,ξ(x)为模糊向量,参数和
根据自适应律而变化。
设计自适应律为


3.稳定性分析
由式(4.15)代入式(4.7)可得如下模糊控制系统的闭环动态

令

则动态方程式(4.19)可写为向量形式

设最优参数为


其中,Ωf和Ωg分别为θf和θg的集合。
定义最小逼近误差为

式(4.21)可写为

将式(4.16)代入式(4.25),可得闭环动态方程

该方程清晰地描述了跟踪误差和控制参数θf、θg之间的关系。自适应律的任务是为θf、θg确定一个调节机理,使得跟踪误差e和参数误差、
达到最小。
定义Lyapunov函数

式中,γ1,γ2是正常数,P为一个正定矩阵且满足Lyapunov方程

其中,Q是一个任意的n×n正定矩阵,Λ由式(4.20)给出。
取,
,
。
令,则式(4.26)变为

即

V的导数为

将自适应律式(4.17)和式(4.18)代入上式,得

由于,通过选取最小逼近误差ω非常小的模糊系统,可实现
。收敛性分析如下:
由于Q>0,ω是最小逼近误差,通过设计足够多规则的模糊系统,可使ω充分小,并满足,从而使得
,闭环系统为渐近稳定。

由于Q>0,w是最小逼近误差,|ω|≤ωmax,通过设计足够多规则的模糊系统,可使ω充分小,并满足,从而使得
,闭环系统稳定。
由于

其中d>0。
则


其中l(•)为矩阵的特征值,l(Q)>l(dPbbTPT)。
则满足的收敛性结果为

可见,收敛误差‖e‖与Q和P的特征值、最小逼近误差w有关,Q特征值越大,P特征值越小,|ω|max越小,收敛误差越小。
由于V≥0,,则V有界,因此θf和θg有界,但无法保证θf和θg收敛于
和
,即无法保证f(x)和g(x)的逼近。
4.2.3 仿真实例
被控对象取单级倒立摆,其动态方程如下

其中,x1和x2分别为摆角和摆速,g=9.8m/s2,mc=1kg为小车质量,mc=1kg,m为摆杆质量,m=0.1kg,l为摆长的一半,l=0.5m,u为控制输入。
位置指令为xd(t)=0.1sin(πt),取5种隶属函数,分别为μNM(xi)=exp-((xi+π/6)/(π/24))2、μNS(xi)=exp -((xi+π/12)/(π/24))2、μZ(xi)=exp -(xi/(π/24))2、μPS(xi)=exp -((xi-π/12)/(π/24))2,μPM(xi)=exp -((xi-π/6)/(π/24))2,则用于逼近f和g的模糊规则分别有25条。
根据隶属函数设计程序,可得到隶属函数图如图4.8所示。

图4.8 xi的隶属函数
倒立摆初始状态为[π/60,0],θf和θg的初始值取0.10,采用控制律式(4.9),取Q=,k1=2,k2=1,自适应参数取γ1=50,γ2=1。
在程序中,分别用FS2、FS1和FS表示模糊系统ξ(x)的分子、分母及ξ(x),仿真结果如图4.9~图4.12所示。

图4.9 角度和角速度跟踪

图4.10 控制输入信号

图4.11 f(x,t)及的变化

图4.12 g(x,t)及的变化
仿真程序:
(1)隶属函数设计程序:chap4_3mf.m
(2)Simulink主程序:chap4_3sim.mdl

(3)控制器S函数:chap4_3ctrl.m
(4)被控对象S函数:chap4_3plant.m
(5)作图程序:chap4_3plot.m