2.1 离散型生存年金

离散型生存年金是指年金领取人每次领取年金的时间间隔是离散的，保险金以被保险人生存为支付条件而建立的年金保险数学模型。可分为每年支付一次的年金和每年支付m次的年金、期初付年金与期末付年金、即期年金与延期年金、终身年金与定期年金等。

2.1.1 每年支付一次的年金

每年支付一次的年金是指以年为时间间隔，每年支付一次，每次支付金额相等的生存年金。可分为期初付年金与期末付年金、即期年金与延期年金、终身年金与定期年金等。

2.1.1.1 期初付年金

1．即期年金

[基本算法示例]每年支付一次期初付即期终身生存年金精算现值。

需要求解的问题类型：

①保单终身生存年金的精算现值P；

②终身生存年金现值随机变量的方差Var（bY）；

③用1元生存年金现值换算成1元保额下的终身寿险趸缴纯保费Ax。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

（3）问题③求解

[实验2.1.1]每年支付一次期初付即期终身生存年金精算现值计算。

张先生现年50岁，在人寿保险公司购买一份终身生存年金，每年年初能得到的金额为1000元，试根据经验生命表（2000—2003）和预定利率2.5%，求该保单所支付年金的精算现值、方差Var（bY）和1元保额下的终身寿险趸缴纯保费A50。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

x=50；

i=0.025；

b=1000；

ω=105；

Lijk=L221。

（2）需要求解的问题

①保单终身生存年金的精算现值P；

②终身生存年金现值随机变量的方差Var（bY）；

③用1元生存年金现值换算成1元保额下的终身寿险趸缴纯保费A50。

2．问题求解

（1）问题①求解

（2）问题②求解

（3）问题③求解

2．延期年金

[基本算法示例]每年支付一次期初付延期终身生存年金精算现值。

需要求解的问题类型：

①延期保单的终身生存年金的精算现值P；

②延期终身生存年金现值随机变量的方差Var（bY）；

③用1元生存年金现值换算成1元保额下延期h年的终身寿险趸缴纯保费 h|Ax。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

Var（bY）=b2·Var（Y）

（3）问题③求解

[实验2.1.2]每年支付一次期初付延期终身生存年金精算现值计算。

张先生现年50岁，在人寿保险公司购买一份延期10年的终身生存年金，延期10年后每年年初能得到的金额为1000元，试根据经验生命表（2000—2003）和预定利率i=2.5%，求该保单所支付年金的精算现值、方差Var（bY）和1元保额下延期10年的终身寿险趸缴纯保费10|A50。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

x=50；

i=0.025；

b=1000；

h=10；

ω=105；

Lijk=L221。

（2）需要求解的问题

①延期保单的终身生存年金的精算现值P；

②延期终身生存年金现值随机变量的方差Var（bY）；

③用1元生存年金现值换算成1元保额下延期10年的终身寿险趸缴纯保费10|A50。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

（3）问题③求解

2.1.1.2 期末付年金

1．即期年金

[基本算法示例]每年支付一次期末付即期终身生存年金精算现值。

需要求解的问题类型：

①保单终身生存年金的精算现值P；

②终身生存年金现值随机变量的方差Var（bY）；

③用1元生存年金现值ax换算成1元保额下的终身寿险趸缴纯保费Ax。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

（3）问题③求解

d =1 -v

Ax=v -d·ax

[实验2.1.3]每年支付一次期末付即期终身生存年金精算现值计算。

张先生现年50岁，在人寿保险公司购买一份终身生存年金，每年年末能得到的金额为1000元，试根据经验生命表（2000—2003）和预定利率2.5%，求该保单所支付年金的精算现值、方差Var（bY）和1元保额下的终身寿险趸缴纯保费A50。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

x=50；

i=0.025；

b=1000；

ω=105；

Lijk=L221。

（2）需要求解的问题类型

①保单终身生存年金的精算现值P；

②终身生存年金现值随机变量的方差Var（bY）；

③用1元生存年金现值a50换算成1元保额下的终身寿险趸缴纯保费A50。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

（3）问题③求解

2．延期年金

[基本算法示例]每年支付一次期末付延期终身生存年金精算现值。

需要求解的问题类型：

①延期保单的终身生存年金的精算现值P；

②延期终身生存年金现值随机变量的方差Var（bY）；

③用1元生存年金现值 h|ax换算成1元保额下延期h年的终身寿险趸缴纯保费 h|Ax。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

（3）问题③求解

[实验2.1.4]每年支付一次期末付延期终身生存年金精算现值计算。

张先生现年50岁，在人寿保险公司购买一份延期10年的终身生存年金，延期10年后每年年末能得到的金额为1000元，试根据经验生命表（2000—2003）和预定利率2.5%，求该保单所支付年金的精算现值、方差Var（bY）和1元保额下延期10年的终身寿险趸缴纯保费10|A50。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

x=50；

i=0.025；

b=1000；

h=10；

ω=105；

Lijk=L221。

（2）需要求解的问题类型

①延期保单的终身生存年金的精算现值P；

②延期终身生存年金现值随机变量的方差Var（bY）；

③用1元生存年金现值10|a50换算成1元保额下延期10年的终身寿险趸缴纯保费10|A50。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

（3）问题③求解

2.1.2 每年支付m次的年金

每年支付m次的年金是指每年支付m次，每次支付金额相等的生存年金。可分为期初付年金与期末付年金、即期年金与延期年金、终身年金与定期年金等。

2.1.2.1 期初付年金

1．即期年金

[基本算法示例]每年支付m次期初付即期终身生存年金精算现值。

需要求解的问题类型：

①保单终身生存年金的精算现值P；

②终身生存年金现值随机变量的方差Var[bY（m）]；

③用1元每年分m次支付的生存年金现值换算成1元保额分m次给付的终身寿险趸缴纯保费。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

（3）问题③求解

[实验2.1.5]每年支付m次期初付即期终身生存年金精算现值计算。

张先生现年50岁，在人寿保险公司购买一份终身生存年金，每月月初能领取1000元，试根据经验生命表（2000—2003）和预定利率2.5%，并在死亡均匀分布的假设条件下，求该保单所支付年金的精算现值、方差Var[bY（12）]和1元保额分12次给付的终身寿险趸缴纯保费。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

x=50；

i=0.025；

m=12；

b=1000；

ω=105；

Lijk=L221。

（2）需要求解的问题

①保单终身生存年金的精算现值P；

②终身生存年金现值随机变量的方差Var[bY（12）]；

③用1元每年分12次支付的生存年金现值换算成1元保额分12次给付的终身寿险趸缴纯保费。

2．问题求解

（1）问题①求解

（2）问题②求解

（3）问题③求解

2．延期年金

[基本算法示例]每年支付m次期初付延期终身生存年金精算现值。

需要求解的问题类型：

①延期保单的终身生存年金的精算现值P；

②延期终身生存年金现值随机变量的方差Var[bY（m）]。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

[实验2.1.6]每年支付m次期初付延期终身生存年金精算现值计算。

张先生现年50岁，在人寿保险公司购买一项延期10年的终身生存年金，延期10年后每月月初能领取1000元，试根据经验生命表（2000—2003）和预定利率i=2.5%，并在死亡均匀分布的假设条件下，求该保单所支付年金的精算现值和方差Var[bY（12）]。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

x=50；

i=0.025；

m=12；

b=1000；

h=10；

ω=105；

Lijk=L221。

（2）需要求解的问题

①延期保单的终身生存年金的精算现值P；

②延期终身生存年金现值随机变量的方差Var[bY（12）]。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

2.1.2.2 期末付年金

1．即期年金

[基本算法示例]每年支付m次期末付即期终身生存年金精算现值。

需要求解的问题类型：

①保单终身生存年金的精算现值P；

②终身生存年金现值随机变量的方差Var[bY（m）]；

③用1元每年分m次支付的生存年金现值换算成1元保额分m次给付的终身寿险趸缴纯保费。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

（3）问题③求解

[实验2.1.7]每年支付m次期末付即期终身生存年金精算现值计算。

张先生现年50岁，在人寿保险公司购买一项终身生存年金，每月月末能领取1000元，试根据经验生命表（2000—2003）和预定利率2.5%，并在死亡均匀分布的假设条件下，求该保单所支付年金的精算现值、方差Var[bY（12）]和1元保额分12次给付的终身寿险趸缴纯保费。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

x=50；

i=0.025；

m=12；

b=1000；

ω=105；

Lijk=L221。

（2）需要求解的问题

①保单终身生存年金的精算现值P；

②终身生存年金现值随机变量的方差Var[bY（12）]；

③用1元每年分12次支付的生存年金现值换算成1元保额分12次给付的终身寿险趸缴纯保费。

2．问题求解

（1）问题①求解

（2）问题②求解

（3）问题③求解

2．延期年金

[基本算法示例]每年支付m次期末付延期终身生存年金精算现值。

需要求解的问题类型：

①延期保单的终身生存年金的精算现值P；

②延期的终身生存年金现值随机变量的方差Var[bY（m）]。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

[实验2.1.8]每年支付m次期末付延期终身生存年金精算现值计算。

张先生现年50岁，在人寿保险公司购买一项延期10年的终身生存年金，延期10年后每月月末能领取1000元，试根据经验生命表（2000—2003）和预定利率i=2.5%，并在死亡均匀分布的假设条件下，求该保单所支付年金的精算现值和方差Var[bY（12）]。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

x=50；

i=0.025；

m=12；

b=1000；

h=10；

ω=105；

Lijk=L221。

（2）需要求解的问题

①延期保单的终身生存年金的精算现值P；

②延期终身生存年金现值随机变量的方差Var[bY（12）]。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解