1.2 连续型寿险模型

连续型人寿保险模型是指以连续型未来寿险为基础，保险金在被保险人死亡时立即支付为假设条件而建立的人寿保险数学模型。可分为死亡保险、两全保险和变额受益寿险等；根据对死亡分布的假设可分为死亡均匀分布假设和常数死力假设等。

1.2.1 死亡保险

连续型人寿保险模型中的死亡保险按保险责任生效的时间可分为即期死亡保险和延期死亡保险；按保险责任期限可分为终身死亡保险和定期死亡保险；按死亡分布假设可分为死亡均匀分布假设和常数死力假设等。

1.2.1.1 死亡均匀分布假设

[基本算法示例]死亡均匀分布假设的即期终身死亡保险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZT）。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

[实验1.2.1]死亡均匀分布假设的即期终身死亡保险趸缴纯保费计算。

李先生今年20岁，投保了一份保险金额为10000元的即期终身寿险，保险金在被保险人死亡时立刻支付，预定年利率为6%，在均匀分布假设下并且假设极限年龄为100岁，求保单趸缴纯保费和赔付现值随机变量的方差。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=20；

预定年利率（i）=0.06；

保险金额（b）=10000；

极限年龄（ω）=100。

（2）需要求解的问题类型

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZT）。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

1.2.1.2 常数死力假设

[基本算法示例]常数死力假设的即期终身死亡保险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZT）。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

[实验1.2.2]常数死力假设的即期终身死亡保险趸缴纯保费计算。

宋女士今年30岁，投保了一份保险金额为20000元的即期终身寿险，保险金在被保险人死亡时立刻支付，预定年利率为6%，在常数死力分布假设下并假设常数死力μ =0.04，求保单趸缴纯保费和赔付现值随机变量的方差。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=30；

预定年利率（i）=0.06；

保险金额（b）=20000；

常数死力（μ）=0.04。

（2）需要求解的问题类型

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZT）。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

1.2.2 两全保险

连续型人寿保险模型中的两全保险是指死亡保险金在被保险人死亡时立即给付和生存保险金在被保险人生存至有效期满时给付的人寿保险。两全保险只能是定期的，按保险责任生效的时间可分为即期两全保险和延期两全保险；按死亡分布假设可分为死亡均匀分布假设和常数死力假设等。

1.2.2.1 死亡均匀分布假设

[基本算法示例]死亡均匀分布假设的即期定期两全保险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZT）。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

[实验1.2.3]死亡均匀分布假设的即期定期两全保险趸缴纯保费计算。

现年35岁的李先生，投保了一份30年的连续型即期两全保险，保险金额为10000元，预定年利率为6%，在均匀分布假设下并且假设极限年龄为105岁，求保单趸缴纯保费和保单赔付现值随机变量的方差。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=35；

预定年利率（i）=0.06；

保险金额（b）=10000；

保险期限（n）=30；

极限年龄（ω）=105。

（2）需要求解的问题类型

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZT）。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

1.2.2.2 常数死力假设

[基本算法示例]常数死力假设的即期定期两全保险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZT）。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

[实验1.2.4]常数死力假设的即期定期两全保险趸缴纯保费计算。

现年35岁的李先生，投保了一份35年的连续型即期两全保险，保险金额为10000元，预定年利率为6%，在常数死力分布假设下并假设常数死力μ =0.04，求保单趸缴纯保费和保单赔付现值随机变量的方差。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=35；

预定年利率（i）=0.06；

保险金额（b）=10000；

保险期限（n）=35；

常数死力（μ）=0.04。

（2）需要求解的问题类型

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZT）。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

1.2.3 变额受益寿险

连续型寿险模型中的变额受益寿险是指在死亡均匀分布假设条件下，保险金额的给付随着被保险人未来寿命的变化而变化的人寿保险。变额受益寿险按保险金额变动方式可分为保额递增和保额递减寿险；按保险责任生效时间可分为即期变额受益寿险和延期变额受益寿险。这里主要讨论保额递增和保额递减的变额寿险。

1.2.3.1 保额递增的变额寿险

1．死亡均匀分布假设

[基本算法示例]死亡均匀分布假设的即期终身保额递增寿险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：保单趸缴纯保费P。

解：

[实验1.2.5]死亡均匀分布假设的即期终身保额递增寿险趸缴纯保费计算。

李先生今年40岁，投保按年连续递增的即期终身寿险，其保险利益是：若被保险人在第一个保单年度内死亡，则立即给付保险金8000元；若在第二个保单年度内死亡，则立即给付保险金8100元；若在第三个保单年度内死亡，则立即给付保险金8200元，依次递增。预定年利率为6%，在死亡均匀分布假设下并且假设极限年龄为105岁，求保单趸缴纯保费。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=40；

预定年利率（i）=0.06；

极限年龄（ω）=105；

首个保单年度的保险金额（b）=8000；

保单年度保险金额公差额（Q）=100。

（2）需要求解的问题类型：保单趸缴纯保费P

2．问题解答

2．常数死力假设

[基本算法示例]常数死力假设的即期终身保额递增寿险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：保单趸缴纯保费P。

解：

[实验1.2.6]常数死力假设的即期终身保额递增寿险趸缴纯保费计算。

李先生今年40岁，投保按年连续递增的即期终身寿险，其保险利益是：若被保险人在第一个保单年度内死亡，则立即给付保险金8000元；若在第二个保单年度内死亡，则立即给付保险金8100元；若在第三个保单年度内死亡，则立即给付保险金8200元，依次递增。预定年利率为6%，在常数死力分布假设下并假设常数死力μ =0.04，求保单趸缴纯保费。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=40；

预定年利率（i）=0.06；

常数死力（μ）=0.04；

首个保单年度的保险金额（b）=8000；

保单年度保险金额公差额（Q）=100。

（2）需要求解的问题类型：保单趸缴纯保费P

2．问题解答

λ =μ =0.04

f（t）=λe-λt（t ＞ 0）

δ =ln（1 +i）=ln（1 + 0.06）=0.058269

1.2.3.2 保额递减的变额寿险

1．死亡均匀分布假设

[基本算法示例]死亡均匀分布假设的即期定期保额递减寿险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：保单趸缴纯保费P。

解：

[实验1.2.7]死亡均匀分布假设的即期定期保额递减寿险趸缴纯保费计算。

李先生今年40岁，投保连续型递减的30年即期定期寿险，其保险利益是：若被保险人在第一个保单年度内死亡，则立即给付保险金10000元；若在第二个保单年度内死亡，则立即给付保险金9900元；若在第三个保单年度内死亡，则立即给付保险金9800元，依次递减。预定年利率为6%，在死亡均匀分布假设下并且假设极限年龄为105岁，求保单趸缴纯保费。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=40；

预定年利率（i）=0.06；

保险期限（n）=30；

极限年龄（ω）=105；

首个保单年度的保险金额（b）=10000；

保单年度保险金额公差额（Q）=100。

（2）需要求解的问题类型：保单趸缴纯保费P

2．问题解答

2．常数死力假设

[基本算法示例]常数死力假设的即期定期保额递减寿险趸缴纯保费。需要求解的问题类型：保单趸缴纯保费P。

解：

[实验1.2.8]常数死力假设的即期定期保额递减寿险趸缴纯保费计算。

李先生今年40岁，投保连续型递减的30年即期定期寿险，其保险利益是：若被保险人在第一个保单年度内死亡，则立即给付保险金10000元；若在第二个保单年度内死亡，则立即给付保险金9900元；若在第三个保单年度内死亡，则立即给付保险金9800元，依次递减。预定年利率为6%，在常数死力分布假设下并假设常数死力μ =0.04，求保单趸缴纯保费。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=40；

预定年利率（i）=0.06；

保险期限（n）=30；

常数死力（μ）=0.04；

首个保单年度的保险金额（b）=10000；

保单年度保险金额公差额（Q）=100。

（2）需要求解的问题类型：保单趸缴纯保费P

2．问题解答