第二节 开路式泵的运动学及流量分析
了解各种开路式泵的工作原理后，本节将以斜盘型泵为主对其进行运动学及流量分析，以便认识柱塞泵性能及其内部规律，这是非常重要的。
一、开路式泵的运动学分析
由开路式轴向柱塞泵的工作原理可知，当液压泵工作时，柱塞对固定壳体而言，做两个运动的复合运动：一个是在缸体内往复移动的相对运动；另一个是与缸体一起旋转的牵连运动。此外，柱塞与滑靴还有由于摩擦而产生相对于缸体绕自身轴线旋转的旋转运动。
1.柱塞的运动分析
图2-17为开路式轴向柱塞泵的运动简图。设倾斜配流盘（斜盘）相对于缸体横截面的倾角为α，取坐标系oxyz，以柱塞运动的上止点A作为零位（即A柱塞球头中心的起始点）。当缸体转过任一角度φ时，柱塞球头中心转至B点。此时，B点坐标为：
（2-1）
图2-17 开路式泵的运动简图
式中 R——柱塞分布圆半径，mm。
由此坐标方程可以看出，沿缸体轴线方向（即x方向）的相对运动，是缸体转角φ的余弦函数。在oyx平面内，柱塞球头的运动轨迹是一个圆。
（1）柱塞位移S
柱塞处于上止点位置时，其球头中心A点在x轴上的坐标为：
（2-2）
柱塞转过任一角度φ后，其球头中心在x轴上的坐标为：
（2-3）
柱塞位移为x1与x2的差值：
（2-4）
柱塞转至下止点时，φ=180°，柱塞达最大位移：
（2-5）
式中 h——柱塞行程，mm。
（2）柱塞速度v
对柱塞位移S的表达式进行微分，可得柱塞相对缸体运动的速度：
（2-6）
式中 ω——缸体转动角速度。
当
时，速度达最大值：
（2-7）
柱塞运动的平均相对速度为：
（2-8）
（3）柱塞加速度a
对柱塞速度v的表达式进行微分，可得柱塞相对缸体运动的加速度：
（2-9）
当φ为0或π时，加速度达最大值：
（2-10）
位移、速度、加速度与转角φ的关系如图2-18所示，是按简谐规律变化的。牵连运动的加速度是由于缸体旋转而使柱塞产生的离心加速度，方向指向轴线ox，其值为：
（2-11）
图2-18 开路式泵运动学特性
2.滑靴在倾斜配流盘上的运动规律
如图2-17所示，将坐标系oxyz以oz轴为轴逆时针转过α角，得一新的坐标系ox1y1z1，点B在坐标系ox1y1z1中，坐标值为：
（2-12）
由此可知，滑靴在倾斜配流盘上的运动规律为一椭圆，其长轴为
，短轴为R，对应任一转角φ的矢径：
（2-13）
矢径ρ与椭圆长轴的夹角为λ，则：
（2-14）
滑靴绕o旋转的角速度为：
（2-15）
由式（2-15）可知，当
（取0及正整数）时，ωh达到最大值，为：
（2-16）
当φ=n1π（n1为0及正整数）时，ωh有最小值，为：
（2-17）
由于滑靴在oy1z1平面内旋转一周的时间与缸体转一周时间相等，所以，其平均角速度ωhm与ω相同，即：
（2-18）
滑靴沿倾斜配流盘表面与椭圆轨迹相切的滑移速度为vh，则：
（2-19）
滑靴在旋转中，由于离心力的作用，滑靴对于倾斜配流盘的压力作用线，将偏离滑靴轴线。在此力所引起的摩擦力的作用下，滑靴、柱塞会产生绕自身轴线的旋转运动，转动快慢取决于旋转摩擦力的大小。自转可改善润滑情况，减小摩擦，提高效率。
二、单级开路式泵排量、流量及流量脉动分析
通过柱塞运动的分析可知，柱塞运动的速度是其转角的正弦函数。因此，泵在全部工作过程中，其输出流量存在脉动现象。
1.平均理论流量Q0
柱塞旋转一周，完成一次吸油、排油过程。在此期间，密封容积的最大变化量为：
（2-20）
式中 A——柱塞面积，mm2；
d——柱塞直径，mm。
所以，每个柱塞旋转一周，实现吸、排油量为ΔV。若泵的柱塞数为z，则泵每转理论排量为：
（2-21）
由式（2-21）可见，泵的排量与倾斜配流盘倾角正切成正比。改变倾斜配流盘倾角，就可以改变泵流量。
若泵以每分钟为n的转速旋转，则泵的平均理论流量为：
（2-22）
2.泵的实际流量Q
泵在工作时，由于吸油不足及存在泄漏，使泵的实际流量低于理论流量。设泵容积效率为ηV，则泵的实际流量为：
（2-23）
3.泵的瞬时流量Qsh
由于泵有多个柱塞同时在排油腔和进油腔，所以，泵的瞬时理论流量为同一瞬时所有处于排油腔的柱塞瞬时流量之和。
（2-24）
式中 Qi——压油腔第i个柱塞瞬时理论流量；
m——处于压油腔的柱塞数。
每一个柱塞的瞬时流量为：
（2-25）
式中 Vi——柱塞i的轴向速度，rad。
则：
式中 φi——柱塞i的转角，rad。
即：
（2-26）
设柱塞数为z，则任一相邻的柱塞夹角
。设编号i=1的
，则顺次有：φ2=φ1+2β，φ3=φ1+4β……
则：
（2-27）
经过数学推导，可得出：
（2-28）
（1）偶数柱塞的工作情况
对于偶数柱塞，位于排油腔的柱数总数，代入式（2-28）得：
（2-29）
将式（2-29）代入式（2-26）得偶数柱塞泵瞬时流量为：
（2-30）
式（2-30）中，φ1有意义的变化范围为0≤φ1≤2β。分析柱塞的工作情况，可知Qsh为一周期函数，周期为2β，其变化规律如图2-19所示。
图2-19 偶数柱塞泵的瞬时流量脉动曲线
由图可知，当φ=2（n'-1）β时，流量值最小；当φ=（2n'-1）β时，流量最大（n'为自然数）。
（2-31）
（2-32）
在半个周期内，泵流量的平均值为：
将
代入，经积分得：
Qr与式（2-22）中Q0表达式相同。可见通过不同途径推得泵的平均理论流量的表达式是相同的。
衡量瞬时流量品质的参数主要有流量不均匀系数δQ和流量脉动系数δ。
流量不均匀系数为：
（2-33）
流量脉动系数为：
（2-34）
流量脉动频率为：
（2-35）
（2）奇数柱塞的工作情况
奇数柱塞的液压泵如图2-20所示。
图2-20 奇数柱塞分布图
当
时，压油腔柱塞个数
，代入式（2-28）得：
（2-36）
当
时，
，代入式（2-28）得：
（2-37）
将式（2-36）、式（2-37）代入式（2-26）得：
（2-38）
式（2-38）中，时取正号，时取负号。
Qsh也是周期函数，其周期为
，其变化规律如图2-21所示。
图2-21 奇数柱塞泵的瞬时流量脉动曲线
当
时，Qsh出现最小值。
当
时，Qsh出现最大值，其中n'为自然数。
（2-39）
（2-40）
在一个周期内求泵的理论平均流量，得：
流量不均匀系数为：
（2-41）
流量脉动系数为：
（2-42）
流量脉动频率为：
（2-43）
（3）奇、偶数柱塞泵性能比较
将不同的柱塞数z代入式（2-33）或式（2-34）中，所得流量不均匀系数数据见表2-2，其曲线见图2-22。由于柱塞数为正整数，所以曲线不是连续的。
表2-2 不同柱塞数的流量不均匀系数
图2-22 柱塞泵流量脉动曲线
由表2-2和图2-22可知：
①流量脉动程度随着柱塞数的增加而下降。
②奇数柱塞的脉动程度远小于偶数柱塞的脉动程度。
两个相邻柱塞数脉动系数之比为：
所以，设计柱塞泵时，在工艺结构允许的条件下，柱塞数取大些为好。一般应选用奇数柱塞。由于当奇数柱塞z≥9时，流量脉动随柱塞数增加而降低，比较平缓，故泵的柱塞数常取z=7。
三、多级开路式泵排量、流量及流量脉动分析
开路式泵由于实现了自冷却、自润滑，去掉了泄漏回油管路，因此，可以实现多级泵的串联、并联。
1.串联时的流量及流量脉动
由前面介绍可知，将两个开路式泵串联起来，第一级泵的进油口与油箱相通，出油口与第二级泵进油口相通，第二级泵的出油口即为双级串联泵的高压油输出口。
设第一、第二级泵分别作为单级泵使用时，压力、流量分别为p1、p2、Q1、Q2，且设两级泵的斜盘倾角、柱塞分布圆直径和柱塞直径分别相等时有Q1=Q2，则串联后双级泵的压力、流量分别为：
（2-44）
式（2-44）中未考虑泄漏影响。
同理，如果有n级泵串联，第i级泵作为单级泵使用时，其压力、流量分别为pi、Qi，则n级串联泵的压力、流量分别为：
（2-45）
同样，式（2-45）也没有考虑泄漏影响。
下面首先讨论串联双级泵的流量脉动情况。为讨论方便，假设双级泵的两个单级泵倾斜配流盘倾角、柱塞分布圆直径及柱塞直径分别相等。
由式（2-26）和式（2-28）可知，单级泵瞬时流量为：
（2-46）
定义波动系数为：
（2-47）
因为第一级泵从油箱吸油，可以认为吸入的油液是均匀的，即f0（t）=1，则第一级泵的瞬时理论流量为：
（2-48）
式中 d1——第一级泵柱塞直径，mm；
R1——第一级泵缸体上柱塞孔分布圆半径，mm；
α1——第一级泵斜配流盘（或斜盘）倾角，rad；
φ1——第一级泵缸体转角，rad。
如果不考虑第一级泵的输出对第二级泵的影响，即设第一级泵输出油液无脉动，则f1（t）=1。
套用上述公式则：
（2-49）
式中 d2——第二级泵柱塞直径，mm；
R2——第二级泵缸体上柱塞孔分布圆半径，mm；
α2——第二级泵倾斜配流盘倾角，rad；
φ2——第二级泵缸体转角，rad；
ϕ——滞后角，rad。
ϕ值大小与第一级泵输出口到第二级泵输入口之间的管路体积V、传动轴转角（同轴传动时）有关。
设
，则：
（2-50）
第二级泵的理论瞬时流量为：
（2-51）
（1）两级柱塞数都是偶数时的流量及流量脉动
设柱塞数为z，则
。
由式（2-47）和式（2-49）可知：
当0≤φ1≤2β时：
（2-52）
当0≤φ2≤2β时：
（2-53）
因为f1（t）是以2β为周期的周期函数，所以，当2β≤φ1≤4β时有：
（2-54）
由式（2-51）可知：
当
时：
（2-55）
当
时：
对
求导，并比较两区间的极大值和极小值得：
当
时，出现最大值。
（2-56）
当φ1=ϕ或2β或2（n'-1）β或2（n'-1）β+ϕ时，出现最小值。
（2-57）
n'为自然数，其流量脉动情况见图2-23。
图2-23 双级偶数泵瞬时流量脉动曲线
由图可见，为一周期函数，周期为2β。
流量脉动系数为：
（2-58）
流量脉动频率为：
（2-59）
（2）两级泵柱塞数都是奇数时的流量及流量脉动
设z为柱塞个数，当0≤φ≤β时，，当β≤φ≤2β时，。
由式（2-47）和式（2-49）得：
（2-60）
（2-61）
因为f（t）是以β为周期的周期函数，所以，
当2β≤φ1≤3β时：
（2-62）
下面分四个区间来讨论泵的瞬时流量。
区间Ⅰ：ϕ≤φ1≤β，0≤φ2≤β-ϕ
（2-63）
区间Ⅱ：β≤φ1≤（β+ϕ），（β-ϕ）≤φ2≤β
（2-64）
区间Ⅲ：β+ϕ≤φ1≤2β，β≤φ2≤2β-φ
（2-65）
区间Ⅳ：2β≤φ1≤（2β+ϕ），（2β-ϕ）≤φ2≤2β
（2-66）
分别在上述区间对式（2-63）～式（2-66）求导，找出极值点，并比较极大值、极小值，可得到最大值和最小值。
当
时，出现最大值。
当φ1=n'β+ϕ或（n-1）β或ϕ（n'、n为自然数）时，出现最小值。
其流量脉动情况见图2-24。
图2-24 双级奇数泵瞬时流量脉动曲线
由图可见，为一周期函数，周期为β。
流量脉动系数δ为：
流量脉动频率为：
（2-67）
（3）第一级泵柱塞为偶数、第二级泵柱塞为奇数时的流量及流量脉动
设第一级柱塞数为z1（偶数），第二级泵柱塞为z2（奇数），假设z1、z2相邻，近似取β1=β2=β。
由式（2-47）和式（2-49）得：
（2-68）
（2-69）
因为f1（t）是以2β为周期的周期函数，所以，当2β≤φ1≤4β时：
（2-70）
由式（2-51）可知，当ϕ≤φ1≤β+ϕ时：
（2-71）
当β+ϕ≤φ1≤2β时：
当2β≤φ1≤2β+ϕ时：
对求导可知：
当
或
时，有最大值。
（2-72）
当φ1=2β或2nβ时，有最小值。
（2-73）
其流量脉冲情况见图2-25。
图2-25 前偶后奇双级泵流量脉动曲线
为一周期函数，周期为2β。
流量脉动系数为：
（2-74）
流量脉动频率为
（2-75）
（4）第一级泵柱塞为奇数、第二级泵柱塞为偶数时的流量及流量脉动
根据前述推导过程，同理可得出前奇后偶双级泵瞬时流量表达式：
当ϕ≤φ1≤β时：
（2-76）
当β≤φ1≤2β时：
当2β≤φ1≤2β+ϕ时：
当
或
时，有最大值。
（2-77）
当φ1=ϕ或2nβ+ϕ时，有最小值。
（2-78）
其流量脉动情况见图2-26。
图2-26 前奇后偶双级泵流量脉动曲线
为一周期函数，周期为2β。
由于的最大值、最小值与前偶后奇双级泵相同，所以泵的流量脉动系数相同。流量脉动频率为fQ=nz，对于n级柱塞泵串联的情况，可依据上述方法进行推导。
2.开路式泵并联时流量及流量脉动
将各个开路式泵的输入口相连作为并联泵，其输入口与油箱相通，将各个泵的输出口相通作为并联泵的出口，形成多级并联泵。
如果n个单级泵并联，每级泵作为单级泵使用时，压力和流量分别为p1、p2、p3、…、pn，Q1、Q2、…、Qn。
当p1=p2=…=pn，如不考虑流量及压力损失，并联多级泵的压力、流量分别为：
（2-79）
假若两个开路式泵并联，且两个单级泵结构参数完全相等，则：
（2-80）
（2-81）
式中 ϕ——滞后角，φ1=φ2+ϕ。
当第二级泵输出口到双级泵流量汇合处之间管路结构，与第一级泵输出口到双级泵流量汇合处之间管路结构相同时，ϕ=0，第一级泵与第二级泵同步。
当两个泵同步时，则双级泵与单级泵的瞬时流量变化的周期、频率、级值点位置完全相同，而脉动系数和流量与脉动量，即最大瞬时流量与最小瞬时流量之差增大了一倍。
当两个泵不同步时，可分以下几种情况。
①两个偶数柱塞泵并联时，两个单级泵的流量分别为：
当0≤φ1≤2β时：
当0≤φ2≤2β时：
根据式（2-81）有：
（2-82）
②当两个奇数柱塞泵并联时，同理可推出双级泵瞬时流量Qsh。
（2-83）
同理可推出一个奇数泵与一个偶数泵并联时的情况。
对于并联柱塞泵来讲，ϕ的情况较为复杂，需根据具体情况利用∑（Qsh）表达式分析泵的瞬时流量脉动情况。
3.开路式泵流量脉动综合分析
关于单级开路式轴向柱塞泵的流量脉动，前面已有论述，下面重点分析串联柱塞泵流量脉动。
以滞后角ϕ为横坐标，以流量脉动系数为纵坐标画出流量脉动曲线。图2-27～图2-29分别为双级偶数泵、双级奇数泵、双级奇偶（或偶奇）泵流量脉动曲线。
图2-27 双级偶数泵脉动系数曲线
图2-28 双级奇数泵脉动系数曲线
图2-29 双级奇偶泵脉动系数曲线
通过分析，可得出如下结论。
①双级奇数柱塞泵流量脉动率最小，双级偶数柱塞泵流量脉动率最大，双级奇偶柱塞泵流量脉动率居中。
②对于串联泵，每个单级泵柱塞为偶数时，当滞后角ϕ在2β附近时，流量脉动值较小。当ϕ=2β时，流量脉动值最小，远小于单级泵的情况。每个单级泵柱塞数均为奇数，ϕ=β时，流量脉动值最小，远小于单级泵的情况。两个单级泵柱塞数为一奇一偶时，
，流量脉动率最小。