3.1 常数和特殊函数
与本节内容对应的Notebook为：03-scipy/scipy-100-intro.ipynb。
SciPy的constants模块包含了众多的物理常数：
from scipy import constants as C
print C.c # 真空中的光速
print C.h # 普朗克常数
299792458.0
6.62606957e-34
在字典physical_constants中，以物理常量名为键，对应的值是一个含有三个元素的元组，分别为常数值、单位以及误差，例如下面的程序用来查看电子的质量：
C.physical_constants["electron mass"]
(9.10938291e-31, 'kg', 4e-38)
除了物理常数之外，constants模块中还包括许多单位信息，它们是1单位的量转换成标准单位时的数值：
# 1英里等于多少米, 1英寸等于多少米, 1克等于多少千克, 1磅等于多少千克
C.mile C.inch C.gram C.pound
------------------ ------ ------ -------------------
1609.3439999999998 0.0254 0.001 0.45359236999999997
SciPy的special模块是一个非常完整的函数库，其中包含了基本数学函数、特殊数学函数以及NumPy中出现的所有函数。由于函数数量众多，本节仅对其进行简要介绍。至于其具体所包含的函数列表，请读者参考SciPy的帮助文档。
伽玛(gamma)函数Γ是概率统计学中经常出现的一个特殊函数，它的计算公式如下：
显然，要通过此公式计算Γ(z)的值是比较麻烦的，可以用special模块中的gamma( )进行计算：
import scipy.special as S
print S.gamma(4)
print S.gamma(0.5)
print S.gamma(1+1j) # gamma函数支持复数
print S.gamma(1000)
6.0
1.77245385091
(0.498015668118-0.154949828302j)
inf
Γ(z)函数是阶乘函数在实数和复数系上的扩展，它的增长速度非常快，1000的阶乘已经超过了双精度浮点数的表示范围，因此结果是无穷大。为了计算更大的范围，可以使用gammaln( )计算ln(|Γ(x)|)的值，它使用特殊的算法，能直接计算Γ函数的对数值，因此可以表示更大的范围。
S.gammaln(1000)
5905.2204232091808
special模块中的某些函数并不是数学意义上的特殊函数，例如log1p(x)计算log(1+x)的值。这是由于浮点数的精度有限，无法很精确地表示非常接近1的实数。例如无法用浮点数表示1 + 1e-20的值，因此log(1+1e-20)的值为0，而当使用log1p( )时，则可以很精确地计算：
print 1 + 1e-20
print np.log(1+1e-20)
print S.log1p(1e-20)
1.0
0.0
1e-20
实际上当x非常小时，log1p(x)约等于x，这可以通过对log(1+x)进行泰勒级数展开证明。在后续章节我们会学习如何用符号计算库SymPy进行泰勒级数展开。
这些特殊函数与NumPy中的一般数学函数一样，都是ufunc函数，支持数组的广播运算。例如ellipj(u, m)计算雅可比椭圆函数，它有两个参数u和m，返回4个值sn、cn、dn和ϕ，其中ϕ满足下面的椭圆积分，而
。
由于ellipj( )支持广播运算，因此下面的程序在调用它时传递的两个参数的形状分别为(200, 1)和(1, 5)，于是得到的4个结果数组的形状都为(200, 5)，图3-1显示了这些曲线。
图3-1 使用广播计算得到的ellipj( )返回值
m = np.linspace(0.1, 0.9, 4)
u = np.linspace(-10, 10, 200)
results = S.ellipj(u[:, None], m[None, :])
print [y.shape for y in results]
[(200, 4), (200, 4), (200, 4), (200, 4)]