7.3　强化习题详解

1社会保险金的指数化：假设退休金是退休人员的唯一收入来源。在基年b，某退休人员的消费束为（x₁^b，x₂^b），此时的商品价格为（p₁^b，p₂^b）。现在价格发生了变化，这时退休金会自动调整，使得消费者的购买力保持不变，那么该消费者的情况现在是变好了，还是变差了？

答：该消费者的情况变好了。如图7-9所示。

图7-9　指数化的退休金通常会使消费者的境况得到改善

在图7-9中，尽管商品2的价格上升，但是指数化计划会增加社会保险付款，以使原先的商品束（x₁^b，x₂^b）按新价格仍然能被支付得起。这意味着预算线将与无差异曲线相交（不再相切），在新的预算线上将会有另一条无差异曲线与之相切，且新的无差异曲线位于基期无差异曲线的右上方，表明消费者效用增加，说明指数化后的最优商品束，消费者对于它的偏好将严格超过对于（x₁^b，x₂^b）的偏好。因此，消费者的境况变好。

2假设（p₁^t，p₂^t）表示第t期观察到的价格，（x₁^t，x₂^t）表示第t期观察到的消费者的选择，现在对一个消费者的消费行为观察了3期，观察值如表7-2所示。

表7-2　消费者行为观察值

请根据以上的观察值，判断该消费者的行为是否符合WARP。

答：消费者的行为不符合WARP。首先计算消费者在不同价格水平下，购买不同商品束所需要支付的货币，如表7-3所示。

表7-3　不同价格水平下，购买不同商品束所需要支付的货币

对角线上的各个数据为消费者在三个观察期实际支出的费用，分别为：5，5，4。

在观察期1（t＝1），价格水平为p¹＝（1，2）：消费者选择的商品束为x¹（支出的货币额为5），由于此时商品束x²也是消费者能买得起的商品束（需要支付的货币为4），但是消费者没有购买，这表明商品束x¹≻x²，即：

p₁¹x₁¹＋p₂¹x₂¹≥p₁¹x₁²＋p₂¹x₂²①

在观察期2（t＝2），价格水平变为p²＝（2，1），消费者选择的商品束变为x²（支付的货币额为5），但是此时商品束x¹也是消费者所能够买得起的（需要支付的货币为4），而消费者没有购买此商品束，即：

p₁²x₁²＋p₂²x₂²≥p₁²x₁¹＋p₂²x₂¹②

根据WARP可知：①式和②式不可能同时成立，因此该消费者的行为在x¹与x²之间是不一致的，违背了WARP公理。

31956年，希克斯给出下例说明一个满足显示偏好弱公理（WARP）的偏好关系可能会不满足传递性。考虑三个时期（t＝0，1，2）的价格和购买组合（p^t，x^t）：

第一期，

第二期，

第三期，

（1）通过计算证实该偏好满足显示偏好弱公理。

（2）说明为什么该偏好不满足传递性？

解：（1）首先计算出消费者在这三个时期的收入（y⁰，y¹，y²）与三个消费计划在不同价格条件下消费的总支出。如表7-4所示（其中每一个数字栏表示与之对应的消费量和价格下的支出）：

表7-4　在不同价格条件下，三个消费计划的对应成本

其中，对角线上的三个元素分别代表y⁰，y¹，y²，可以看出：

①考虑x⁰（p⁰，y⁰）这个消费束，p⁰x¹＝48＞y⁰＝42超过了收入，不予考虑；p⁰x²＝40＜y⁰＝42，但是p²x⁰＝52＞y²＝50，所以x⁰（p⁰，y⁰）满足显示弱偏好公理。

②考虑x¹（p¹，y¹）这个消费束，p¹x⁰＝33＜y¹＝36，但是p⁰x¹＝48＞y⁰＝42；p¹x²＝39＞y¹＝36超过了收入，不予考虑。所以x¹（p¹，y¹）满足显示弱偏好公理。

③考虑x²（p²，y²）这个消费束，p²x⁰＝52＞y²＝50超过了收入，不予考虑；p²x¹＝48＜y²＝50，但是p¹x²＝39＞y¹＝36，所以x²（p²，y²）也满足显示弱偏好公理。

综合可知，该偏好满足显示偏好弱公理。

（2）由上面①的计算可看出x⁰≻x²；②的计算可看出x¹≻x⁰；③的计算可看x²≻x¹，消费者对这三个消费束的偏好形成了一个循环。所以，此消费者的偏好不满足传递性。

4如果观察到一个消费者在p₁＝2，p₂＝6时，购买的商品1和2的数量为x₁＝20，x₂＝10；当价格变为p₁＝3，p₂＝5时，他的购买量为x₁＝18，x₂＝4。他的行为符合显示性偏好弱公理吗？

答：消费者的行为符合显示性偏好弱公理。分析如下：

因为2×20＋6×10＝100＞2×18＋6×4＝60，所以根据显示偏好弱公理就必然有3×20＋5×10＞3×18＋5×4，而后一个不等式确实是成立的（110＞74）。所以消费者的行为符合显示性偏好的弱公理。

5考察一个对物品1和物品2有需求的消费者。当物品价格为（2，4）时，其需求为（1，2）；当价格为（6，3）时，其需求为（2，1），在没有其他重要的变化时，问该消费者是否是效用最大化者？

答：该消费者不是效用的最大化者。因为他的需求行为违反了显示偏好“一般性公理”。当价格为（2，4）时他支出了10，在这些价格下他能够负担消费束（2，1），但他未选择该消费束，所以由显示偏好原理可知（注意不是显示偏好弱公理或显示偏好强公理），（1，2）≻（2，1）。当价格为（6，3）时，他支出了15，在这些价格下他能够负担得起消费束（1，2），但并未选择该消费束，所以（2，1）≻（1，2）。前后结论相矛盾，因此消费者没有最大化自己的效用。

6在2013年，商品x的价格是3，商品y的价格是3。现在商品x的价格是2，商品y的价格是5。在2013年，消费者的消费束是（x，y）＝（3，5），现在消费者的消费束是（x，y）＝（7，4）。则：

（1）现在相对于2013年的拉氏价格指数和帕氏价格指数分别是多少？

（2）消费者的福利状况是变好了还是变差了？

解：（1）拉氏价格指数为：

帕氏价格指数为：

（2）消费者的福利状况变好了。由：

可知L_p＜M，故消费者的福利状况现在是变好了。