五、计算题

1．消费x、y两种商品的消费者的效用函数为：，x、y的价格均为4，消费者的收入为144。

（1）求该消费者的需求水平及效用水平。

（2）若x的价格上升到9，对两种商品的需求有何变化？

（3）x价格上升至9后，若要维持当初的效用水平，消费者的收入最少应达到多少？

（4）求x价格上升至9，所带来的替代效应和收入效应。

解：（1）预算约束式为：。

简化后得，代入效用函数得：。

效用最大化条件为：。

联立可得：。

（2）x的价格变化后的预算约束式为：。

简化后得，代入效用函数得：。

效用最大化条件：。

解得：。分别代入预算约束式及效用函数得：。

（3）假设x的价格变化后要维持最初的效用水平所需的收入为I，那么，其预算约束式为：。

所有的已知条件为：。

整理后得：。

I的最小化条件为：。

所以：。

代入效用函数及预算约束式分别得：。

也就是说，价格变化后，若能将收入提高到216，分别购入12单位和27单位y，可恢复到最初324的效用水平。

（4）替代效应为-6（即12-18）。收入效应为-4（即8-12）。

2．如果甲用全部收入能购买4单位X和6单位Y，或者12单位X和2单位Y。

（1）请作出预算线。

（2）商品X与Y的价格之比是多少？

解：（1）在横轴为X，纵轴为Y的坐标系中，预算线是一条经过（4，6），（12，2）的直线，斜率为-1/2，表达式为。

（2）由题意知：

商品X与Y的价格之比为：。

3．分析当一消费者消费X和Y两种商品时，无差异曲线的斜率的绝对值处处是，y是商品Y的量，x是商品X的量。

（1）说明对X的需求不取决于Y的价格，且X的需求弹性的绝对值为1。

（2）若，该消费者均衡时的是多少？

解：（1）根据消费者均衡条件。

因为与无差异曲线的斜率的绝对值相等，则：

预算约束条件为。

由此可得商品X的需求函数为：。

X的需求价格弹性为：。

（2）时，。