第4章　弯曲应力

一、选择题

1．如图4-1所示，轴AB作匀速转动，等截面斜杆固定于轴AB上，沿斜杆轴线弯矩图可能为（　　）。[中国矿业大学2009研]

A．一次直线　 

B．二次曲线　

C．三次曲线　 

D．四次曲线

图4-1

【答案】C

【解析】设斜杆以角速度ω匀速转动，斜杆的长度为l，横截面面积为A，容重为γ，于是可得距离固定端x的截面处离心力的集度为：

根据弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系：

可知弯矩图应该为关于x的三次曲线。

2．图4-2所示外伸梁横截面为矩形，且宽为高的三倍（b＝3h），此时许用荷载[q]＝q₀。若将该梁截面立放（使高为宽的三倍），则许用荷载变为（　　）。[北京航空航天大学2005研]

A．[q]＝3q₀　   

B．[q]＝9q₀

　 

图4-2

【答案】A

【解析】假设在x截面处的弯矩最大，根据正应力计算公式可得：

平放时的最大正应力：，许可弯矩：

立放时的最大正应力：，许可弯矩：

又，可知[q]＝3q₀

3．图4-3所示，矩形截面简支梁承受集中力偶M_e，当集中力偶M_e在CB段任意移动，AC段各个横截面上的（　　）。[西北工业大学2005研]

A．最大正应力变化，最大切应力不变　 

B．最大正应力和最大切应力都变化　 

C．最大正应力不变，最大切应力变化　 

D．最大正应力和最大切应力都不变　 

图4-3　 　图4-4

【答案】A

【解析】设AB梁长为l，M_e距B支座为x，作弯矩图如图4-4（a）所示。

在M_e作用下，弯矩突变值为，整个梁上剪力大小相同，如图4-4（b）所示，故最大切应力不变（τ_max＝。当x发生变化时，最大弯矩值也发生变化，由知，最大正应力也将发生变化。

二、计算题

1．一⊥形截面的外伸梁如图4-5所示。已知：l＝600mm，a＝110mm，b＝30mm，c＝80mm，F₁＝24kN，F₂＝9kN，材料的许用拉应力[σ_t]＝30MPa，许用压应力[σ_c]＝90Mpa。

（1）若C为⊥形截面形心，试求y₁与y₂的值；

（2）不计弯曲切应力的影响，试校核该梁的强度。[北京科技大学2012研]

图4-5

答：（1）建立如图4-6所示坐标系。

图4-6

所以与值分别为：

 

（2）作梁ABD弯矩图，如图4-7所示

图4-7（单位KN.m）

在截面E处，有

在截面B处，有

综上述，梁的强度满足要求。

2．试绘制图4-8所示梁的剪力图和弯矩图。[武汉理工大学2010研]

图4-8

解：（1）根据平衡方程求得之支反力：

（2）剪力图和弯矩图分别如图4-9（a）（b）所示。

（a）　  （b）

图4-9

3．已知简支梁弯矩方程和弯矩图如图4-10所示。其中：

试：（1）画出梁上的载荷；（2）作梁的剪力图。[西安交通大学2005研]

图4-10

解：根据弯矩、剪力和载荷集度的微分关系，分别对M（x）求一阶、二阶导数，可得到梁的剪力方程和荷载集度：

（1）作载荷图

根据弯矩图可知，在x＝0截面上有一正弯矩

根据剪力方程可知：

在截面左侧，剪力等于，右侧截面剪力等于，由此可判断在截面上有向下集中力的作用。

由弯矩方程的二阶导数可知：

综上，绘制荷载图，如图4-11（a）所示。

（2）作梁的剪力图

根据以上所得梁荷载图绘制剪力F_s图，如图4-11（b）所示。

（a） （b）

图4-11

4．T形截面梁荷载及尺寸情况如图4-12所示，材料许用拉应力[σ_t]＝30 MPa，许用压应力[σ_c]＝80 MPa。

（1）校核梁的正应力强度条件；（2）计算梁横截面上的最大切应力。[同济大学2001研]

图4-12

解：（1）求支座反力作内力图

梁的剪力图和弯矩图如图4-13所示。

图4-13

（2）确定形心

图形对z_c轴的惯性矩为：

（3）梁上正应力强度校核

在B截面上

在D截面上

梁的正应力强度条件满足。

（4）梁横截面上最大切应力

在B左侧截面上有最大剪力：

故

4.T形等截面悬臂梁受力及尺寸（单位：mm）如图4-14所示。已知Z为梁截面的中性轴，P=16KN，a=2m，材料的许用拉应力[σ_t]＝80MPa，许用压应力[σ_c]＝200MPa。弹性模量E=200GPa。试：

（1）校核梁的正应力强度；

（2）计算梁横截面上的最大切应力。[武汉大学2007研]

图4-14

解：（1）　 

（２）