第23章　光的衍射

一、选择题

1．某元素的特征光谱中含有波长分别为λ₁＝450nm和λ₂＝750nm（1nm＝10^－9m）的光谱线。在光栅光谱中，这两种波长的谱线有重叠现象，重叠处λ₂的谱线的级数将是（　　）。[华南理工大学2011研]

A．2，3，4，5．．．．．．　 

B．2，5，8，11．．．．．．

C．2，4，6，8．．．．．．　 

D．3，6，9，12．．．．．．

【答案】D

【解析】设、的衍射明条纹级次分别为、。光栅方程为：，要使两不同波长的光谱重合，就是要求衍射角相同，即需要满足：，带入数值得：，所以当取5的倍数，取3的倍数时两波长的光谱重合。

2．一单色平行光束垂直照射在宽度为1.0mm的单缝上，在缝后放一焦距为2.0m的会聚透镜。已知位于透镜后焦平面处屏幕上中央明纹的宽度为2.0mm则入射光波长约为（　  ）。[北京邮电大学2010研]

A．100nm 

B．400nm 

C．500nm 

D．600nm

【答案】C

【解析】中央明纹的宽度是指的两个暗纹间的距离，产生暗纹的条件为：

所以中央明文的宽度为，求得：

3．一束平行单色光垂直入射在光栅上，当光栅常数（a＋b）为下列哪种情况时（a代表每条缝的宽度），k＝3、6、9等级次的主极大均不出现?（　　）。[华南理工大学2009研]

A．a＋b＝2a

B．a＋b＝3a

C．a＋b＝4a

A．a＋b＝6a

【答案】B

【解析】此为缺级现象，即的某些值满足光栅方程的主明纹条件，而又满足单缝衍射的暗纹条件，这些主明纹将消失。即同时满足

由题意k＝3、6、9等级次的主极大均不出现即缺级，即

4．波长在至范围内的复色平行光垂直照射到一光栅上。如要求光栅的第二级光谱和第三级光谱不重叠，则最大为（　　）。[电子科技大学2006研]

A．2　

B．3　

C．0.5 

D．4

【答案】C

二、填空题

1．如图23-1所示，波长为λ＝480.0nm的平行光垂直照射到宽度为a＝0.40mm的单缝上，单缝后透镜的焦距为f＝60cm，当单缝两边缘点A、B射向P点的两条光线在P点的相位差为π时，P点离透镜焦点O的距离等于______。[华南理工大学2010研]

图23-1

【答案】0.36mm

【解析】单缝衍射的光程差公式为：。

相位差公式为：。联立这两式可以解得：

2．在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射在宽度a＝5λ的单缝上，对应于衍射角的方向上若单缝处波面恰好可分成5个半波带，则衍射角＝______。[华南理工大学2009研]

【答案】

【解析】由单缝的夫琅禾费衍射实验知识并由题意可知：

3．用的平行光束，垂直照射到一单缝上，在距单缝2m远的屏上观察夫琅禾费衍射图样，测得第二级暗纹的衔射角为，则单缝的宽度＝______。单缝可分为7个“半波带”的衔射角为______。[南京航空航天大学2007研]

【答案】2400mm；

4.He-Ne激光器发出的平行光束，垂直照射到一单缝上，在距单缝3m远的屏上观察大琅不费衍射图样，测得两个第二级暗纹间的距离是10cm，则单缝的宽度a＝______。[南京航空航天大学2006研]

【答案】

三、计算题

1．用波长为的钠黄光垂直入射在每毫米有500条缝的光栅上，求第一级主极大的衍射角。[宁波大学2009研]

解：可知。第一级衍射主极大。

所以有。因此有。

2．波长为480nm的单色平行光垂直照射一双缝，两封宽度均为a＝0.080mm，缝间距d＝0.040mm，紧靠缝后放置焦距f＝2.0m的透镜，观察屏置于透镜焦平面处。求：

（1）在屏上单缝衍射的中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹的数目。

（2）双缝干涉条纹的间距Δx。[浙江大学2007研]

解：（1）谱线缺级，则：

即单缝衍射第±1级暗级恰是光栅衍射主极大±1级所在处，所以在单缝衍射中央明纹级数为，±1，±2，±3，±4，共9条双缝干涉亮纹。

（2）条纹间距：

3．用钠光（＝589.3nm）垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°。

（1）若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长。

（2）若以白光（400nm～760nm）照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角。（1nm＝10^－9m）

[南京航空航天大学2008研]

解：（1）第三级光程差：，。即：

　  ，

同理，第二级光程差：　  

  ，

于是：

（2）由（1）解得：

最短、最长波长的第二级衍射角分别为：

则白光第二级衍射角的张角为：

4．设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米都有5000条刻线，用它来观察波长为的光谱，光栅上不透光缝宽度与透光缝宽度之比为2∶1，求：

（1）当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的级数和条纹数是多少？

（2）当光线以的入射角（入射线与光栅平面的法线的夹角）斜入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级数是多少？（）[南京航空航天大学2006研]

解：（1）光栅常数为：。由知，能看到的光谱线的最高级次为，取。

由题意知，，，即第二级缺级。故能看到的光谱线的级次为：，共5条明条纹。

（2）斜入射：。得：

取，即能看到的光谱线的最高级次为第5级。

5．设有一光栅，当白光垂直照射时，波长λ＝720nm的红光在衍射角＝30°的方向上不存在可见光（400nm~760nm）谱线的其他主极大。求该光栅的：（1）光栅常数；（2）总缝数；（3）最小缝宽。[浙江大学2006研]

解：

。

（1）　 　。

（2），；。所以对应的波长在该处出现主极大。

（3）当时，在该处出现缺级，。

6．有一衍射光栅，光栅常数mm，缝宽mm，今用波长＝500nm的单色光垂直入射该光栅。问：最多能观察到多少条亮纹。[厦门大学2006研]

解：由光程差，得：＝8，即最多可观察第8级主极大。

满足以下的主极大缺级：

得：，即第3级、第6级缺级。

所以最多可观察到的亮条纹数：

。

7．波长的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明纹出现在处，第三级为第一个缺级。求：

（1）光栅常数。

（2）通光狭缝的宽度a。

（3）屏上可观察到的明纹数及其级数。[南京理工大学2005研]

解：（1）第二级明纹：

又，得光栅常数：

（2）第三级为第一个缺级，则

解得

因此

（3）由，得

故

考虑缺级

故缺级。所以，可观察到，共9条明纹。

8．如图23-2所示光栅模型，它可视为二维阵列的相干点源。

（1）分析xz平面内的夫琅和费衍射主极大的条件。

（2）对于单色入射波长，且，试列出可能存在的全部主极大。[南京大学2005研]

图23-2

解：（1）夫琅和费衍射主极大的条件为：

（2），故，即：

于是：

得到所有可能的主极大为：

对应的角度分别为0°，±6°52＇，±53°8＇，±90°。

9．如图23-3所示，有三条平行狭缝，缝宽皆为a，缝距分别为d和2d。试导出正入射时其夫琅禾费衍射强度公式。[山东大学研]

图23-3

解：x向振幅：；y向振幅：。

时，单缝在屏上生成的光强：

式中，，。