1.2 学前儿童数学学习的特点
数学是一种抽象的逻辑关系的体现。这种关系不是直接从具体的事物感知到的，而是一种超越于物体现实之上的抽象，它所依赖的是作用于物体的一系列动作之间的协调的抽象。从数学知识高度的抽象性和逻辑性的本质来看，学前儿童学习数学，必须具备一定的概括能力和逻辑思维能力，它是儿童学习数学的重要准备。那么学前儿童的思维发展为其数学学习提供了怎样的准备？幼儿的数学学习具有什么样的特点呢？
案例1-1
爱丽丝的例子[21]
从爱丽丝的例子中，我们看到这位学前儿童已经具有某些重要的数学禀赋。对爱丽丝而言，手指头是其表达数学观念的重要的中介工具。爱丽丝的数学是建立在具体的经验上的，像计数与使用手指头之类的事情，这种具体的经验对于儿童的数学发展有多重要呢？
一、学前儿童思维发展的特点
按照皮亚杰思维发展理论的分析，儿童的思维发展是经由动作性思维进入到表象性思维，再由表象性思维逐渐过渡到符号性思维。在这种转化过程中，思维工具的概括性水平逐渐提高，因而思维的抽象概括程度也越来越高。学前儿童的思维发展过程是表象性思维替代了动作性思维成为思维的主体，而又以此为基础萌发了抽象逻辑思维。所以，学前儿童的思维发展具有以下特点：
（一）思维发展依赖于动作
学前儿童的思维具有很大的局限性。无论是其概括化水平还是逻辑推理的水平都是无法脱离自己的行动和具体的物体的。皮亚杰认为，儿童的思维起源于动作，抽象水平的逻辑思维能力来自于对动作水平进行具有逻辑意义的概括和内化。
首先，从儿童逻辑的起源来看，皮亚杰认为，幼儿通过反省抽象所获得的逻辑数理知识正是其逻辑的来源。这种反省抽象就是对作用于物体的一系列动作之间的协调与抽象。儿童的逻辑包含有两个层面，即动作的层面和抽象的层面。儿童逻辑的发展遵循着从动作的层面向抽象的层面转化的规律。幼儿基本的逻辑结构主要体现为对应结构、序列结构和类包含结构，幼儿的这些心理逻辑也正是与数学知识的逻辑相对应的。如幼儿的一一对应观念形成于小班中期（3岁半以后）。它的形成起源于幼儿对应的操作。起初，幼儿可能会在对应物的操作中感受到某种秩序，并未将其作为集合比较的方法。但他们逐渐在操作中会发现，通过一一对应来比较物体常常是一种可靠的方法，这样幼儿就会建立起一种牢固的一一对应的观念。但这种一一对应的观念并没有进入到高度抽象概括的水平。如皮亚杰采用“放珠子”实验说明了幼儿的一一对应逻辑还不能脱离具体的动作和物体。实验者给幼儿出示两个盒子，一个盛有许多珠子，让幼儿把珠子一个一个放到另一个空盒，问幼儿如果一直放下去，两个盒子里是不是会一样多，幼儿不能确认。说明该年龄段的幼儿在没有具体的动作和物体支持时，无法在头脑中将两个盒子里的珠子作一一对应的比较。再比如，幼儿序列观念的形成，也是在不断面对操作材料进行多次比较的经验中，逐渐在比较之间建立了某种传递性的关系。同样，幼儿“类包含”的观念也是在对具体事物的分类活动中逐渐形成了类与子类之间的层级性关系。
其次，从思维的抽象性来看，抽象的思维起源于具体的动作。抽象水平的逻辑来源于对动作水平的逻辑的概括和内化。幼儿在形成客体永久性概念以后，在1岁半左右思维就具备了表象性功能，这就使得儿童的思维可以脱离具体的实物而进行思考。幼儿能够借助于头脑中的关于事物的表象，对已经不在此时此地的事物进行间接的思考。能够摆脱时间和空间的限制而在头脑中进行思考，这是幼儿抽象思维发展的开始。儿童的这种抽象首先是在动作水平上建立起来的，儿童在与周围事物的互动中，逐渐会把一些动作概括化为解决问题的目的性动作，然后儿童逐渐可以摆脱时间和空间的限制在表象水平上对动作和事物进行概括，最后发展到抽象的符合形式的概括。然而，儿童要在头脑中完全达到一种抽象的逻辑的思考，则要到十几岁以后。儿童不仅需要将动作内化于头脑中，还要能将这些内化了的动作在头脑中自如地加以逆转，即达到一种可逆性。
（二）思维具有过渡性
从儿童抽象逻辑的发展来看，儿童逻辑的发展应该包含三种工具水平的逻辑，即动作层面的逻辑、表象层面的逻辑和符号层面的逻辑。儿童逻辑的发展就是要从动作逻辑走向抽象逻辑。而其间，表象性思维是幼儿思维的一个重要特点。幼儿时期的表象性能力发展迅速，这对于他们在头脑中进行抽象的逻辑思考有着重要的作用。但从根本上来说，表象仅是提供了幼儿进行抽象思维的具体材料，儿童的抽象逻辑思维取决于他们在头脑中建构事物之间关系的能力。而从幼儿思维抽象性的发展来看，实际上伴随着两个方面的内化过程，一个是外部的具体的形象内化为头脑中的表象，另一个是施加于外部具体形象的外在的动作内化为头脑中的思考。后者是思维的根本。当然，表象性思维是儿童由动作性思维进入到高度抽象的符号性思维的必经阶段。
二、学前儿童数学学习的特点
幼儿思维的发展为他们进行数学学习提供了一定的心理准备。但同时，幼儿逻辑思维发展的特点又造成了他们在建构抽象的数学知识时所存在的困难。因此，在整个幼儿期，幼儿必须借助于具体的事物和动作，在头脑中逐步建构一个抽象的逻辑体系。但同时，幼儿学习数学的过程中又必须不断努力摆脱具体事物和动作的影响，使那些和具体事物相联系的知识能够内化为头脑中的经验，成为具有一定概括性意义的数学知识。这样，幼儿学习数学的心理特点可以概括为以下几点。
（一）儿童早期数学概念的发展是一个渐进的体验过程
对学前儿童来说，早期数学概念的发展离不开儿童在具体环境和生活中对具体事物的动作操作和体验，它是儿童在与物打交道的过程中不断积累感性经验，并借助于具体事物的形象在头脑中建构起一个抽象逻辑概念的渐进性发展过程。在这一过程中，儿童既要依赖于具体的事物和针对事物的具体动作，但同时又要努力摆脱具体事物的其他无关特征，而去抽取事物内部或事物和事物之间的一般化、抽象化的数量特征，并逐步能够采用抽象的符号去理解和表征这些特征，它是一个不断进行内化、抽象和概括的思维过程。因而，在儿童早期数学学习的渐进性过程中，受思维发展所影响，表现出一些具有过渡性质的特点。[22]
学前儿童的思维发展主要表现为以具体形象思维替代感知动作思维成为思维的主体。他们对于事物的认识和理解往往离不开直接的、具体的物体和材料，也离不开施加于这些具体物体和材料上的具体的动作。而数学知识是表征事物之间关系的，它需要抽离事物自身的一些无关的具体特征，以抽象的符号概念来表征和理解。这就使得儿童在获取和理解数学概念的过程中有一个源于具体事物而又要逐步摆脱具体事物的过渡性过程。如小年龄的幼儿在面对“家里有几个人？”的问题时，能够准确地回答出“有爸爸、妈妈、爷爷、奶奶和自己”，但却不能用数字“5”来概括出共有几个人，随着儿童数数（shǔshù）能力的发展，儿童可以用5根手指表示出来，再后来逐渐发展到用数字“5”来表示。这一发展变化过程说明，学前儿童数学学习中从具体走向抽象的渐进过程依赖于幼儿的心理和生理的成熟、数学经验的不断积累和思维水平的发展。
学前儿童数学概念形成过程中由具体走向抽象的过程也伴随着儿童对数学关系的理解是从对个别的具体事物和现象的理解走向一般和普遍意义的理解。例如儿童在学习集合概念的时候，刚开始是与个别的具体事物相联系的，随着理解的深入，儿童可以把集合概念扩展到任何事物上。儿童对集合概念的理解从一类相同事物扩展到一类不同的事物，再扩展到不同类的事物可以共组集合。这就是一个从个别到一般的过程，这样儿童对数量关系的意义理解就由个别化的意义扩展到一般性的普遍化的意义了。
儿童思维发展的过程就是由外部动作为源起，逐渐走向内化的动作的过程。因而，幼儿在数学学习过程中也正是经历着这样一个动作转化的过渡过程。比如小班时期的小朋友在完成点数的时候，常常要借助于外显的动作，用手一一对应地去摸着物体点数；而后动作会逐渐转化为凌空点数，手指已不需要接触物体；再后来，儿童就隐去了手指点数的外部动作，开始在心里默数。这一过程真实地反映了幼儿在数学学习过程中思维由外部动作向内部动作转化的过渡过程。可见，对于学前儿童来说，对数学概念的理解和学习是一个从外显的、具体的动作表征水平逐渐向内化的、抽象的心理运算水平过渡的过程。因而，在数学学习过程中应该给年幼儿童尽可能提供动作水平上的操作，它既符合幼儿学习数学的心理需要，也更有助于幼儿完成对数学概念意义理解的心理转化。
由于幼儿大脑的生理发育需要一个时间过程，因而幼儿思维发展也就遵循这样的一种过程。年幼的幼儿由于大脑发育不够完善和外部经验的缺乏，他们外部的动作还没有完全内化，对事物的判断和思考还停留在具体动作的水平，而没有上升到抽象的思维水平。因而，他们对自己的思维过程常常缺乏自我意识。幼儿思维的自觉程度是和其动作的内化程度有关的。随着机体的成熟和经验的增加，幼儿会从认识过程的不自觉状态逐渐过渡到自觉的状态。如年龄小的幼儿在用语言归纳或表述自己的“数行动”或操作结果时，常常会出现“言不由衷”的不一致情况；但随着年龄的增长和经验的增加，儿童逐渐能够清晰地描述自己的思维过程。这说明对年幼的幼儿来说，他们在掌握数学概念的过程中尚未能从具体的事物中抽取出本质的数量特征，而常常会停留在具体的经验和外部动作上。随着思维和语言的发展，动作逐渐内化，幼儿就会不断提升对其动作和思维过程的意识程度。
对学前儿童来说，“去自我中心”，即从自我中心到社会化，是其思维抽象性发展的重要标志之一。因而，幼儿在数学学习过程中也会表现出这样的过渡性特征。年幼的学前儿童由于其认知和思维的“自觉”程度不高，概括和内化水平有限，常常会表现出思维上的“自我中心化”特征。他们常常仅关注于自己的动作，不能把自己的动作和同伴的动作进行比较和协调，且不能有效地去监控自己的动作过程，所以也就难以与同伴形成合作交流。因此，帮助幼儿在发展数学认知能力的过程中逐渐完成“去自我中心”，提高儿童的社会化程度是非常重要和关键的。
（二）儿童早期数学学习起始于动作
皮亚杰理论认为，儿童的思维起源于动作，抽象水平的逻辑思维能力来自于对动作水平进行具有逻辑意义的概括和内化。由于数学关系是一种数理逻辑知识，它不直接体现在事物本身，因而也无法直接感知而获得，必须通过对施加于具体事物的动作的协调和组织才能完成建构。因此，对学前儿童来说，其数学概念的获取也就离不开对具体事物和材料的感性体验，感性体验和操作是幼儿数学认知发展的基础。
幼儿在数学学习过程中常常会表现出许多外部的动作，正是这些外部动作协调着事物之间的关系，这对于他们理解和建构数学中的关系的意义是不可或缺的。基于材料的操作和多感官参与的行动过程是学前儿童建构数学概念的必经之路。
（三）幼儿数学知识的内化过程需要借助于表象的作用
表象性思维是幼儿思维发展中的一个重要特征，学前儿童的思维发展过程就是表象性思维替代了动作性思维成为思维的主体。因而表象在幼儿数学学习中也起着非常重要的作用。幼儿对数学概念的理解和建构起始于外部的动作，但要把这些外部的动作进行组织与协调，把它们变成头脑中抽象的数学关系和数学概念，这还有赖于动作的内化过程，即在头脑中组织和协调动作之间的逻辑关系。而表象的作用就在于帮助幼儿完成这样的内化过程。
（四）儿童早期数学概念的获得是一种主动建构过程，也是一种社会性互动过程
数学知识是一种抽象的关系，这其中既包含数理逻辑知识，也包含社会性知识。对于数理逻辑知识来说，儿童对数学知识的获得不可能通过口耳传递、模仿记忆的方式获得，数学知识所表征的内在关系需要儿童在与物体打交道的过程中，在感性体验的基础上通过对动作的协调与组织主动建构才能获得，这种具有个体意义的主动建构过程是建立在儿童已有的认知结构和发展水平之上的，是以儿童的已有经验为基础的，是基于反复的实物操作和思维内化的认知重构过程。而对于社会性知识来说，就不是儿童仅仅通过与物打交道的动作协调过程可以建构的，它必须是在个体与他人的互动过程中进行建构。因而，幼儿的数学学习并不仅仅是一种个体孤立地与物打交道的过程，而是一种合作、交往的活动，是儿童在与同伴、成人进行社会性协商、互动合作中共同建构和分享的活动。但儿童对数学关系的理解和建构总是以儿童的动作协调为基础的。
（五）儿童早期数学概念的获得需要与日常生活情境相联系的学习背景
对于学前儿童来说，数学就存在于周围现实的生活世界中，能从真实的生活和游戏中感受事物的数量关系并体验到数学的重要和有趣，这是他们进行非正式数学学习的价值所在。因此，把儿童的数学学习活动置于有意义的、真实的日常生活情境和背景之中，不仅可以顺应其对生活世界本能的好奇心和求知欲，从而激发儿童主动建构和发现数学关系的内在动机，促进儿童基于已有的经验去理解其所发现和建构的数学关系的意义；而且这种真实的情境更可以唤起儿童已有的经验，为儿童提供了新经验与旧经验整合的基础，也为其提供了将数学知识与其他知识整合的基础。
学前儿童的数学学习主要是一种非正式的数学学习，它常常发生在非正式的学习情境和日常生活问题背景之中。来自于儿童直接的生活情境中的数学问题才是儿童发现数学，建构数学关系，理解数学意义的背景。因此，对于儿童早期数学概念的发展来说，提供与日常生活情境相联系的学习背景是十分重要和必要的。为儿童的数学学习营造一个适宜的富有挑战的情境，儿童可以在此情境中发现问题、提出问题，并能够以数学的方式来分析和解决问题。一方面能使儿童借助于与同伴和成人的互动，利用必要的学习材料，通过意义建构的方式获得数学概念；另一方面，更能把数学学习发生于真实的应用情境中，使儿童在解决真实情境问题的思维过程中体验数学思维的重要与有趣，发展其思维的逻辑性、变通性和灵活性。