第3章 复杂直流电路

通过本章的学习，熟悉电工基本定律之一的基尔霍夫定律的内容，并掌握利用基尔霍夫定律分析、计算复杂直流电路的方法。这些分析方法不仅适用于直流电路，而且也适用于交流电路。

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第一节 基尔霍夫定律

第2章讲到了电阻混联电路，不论电路有多么复杂，但最终都能用电阻的串、并联进行简化，并利用欧姆定律进行求解。但在电子电路中，常会遇到如图3-1所示的电路。

该电路看似十分简单，但却无法用电阻的串、并联进行简化，不能直接用欧姆定律进行求解。像这种不能用电阻串、并联简化求解的电路称为复杂电路。

因此，判断一个电路是简单电路还是复杂电路，不是看其电路形式是简单还是复杂，主要是看其最终是否能用电阻的串、并联进行简化。

复杂电路要用基尔霍夫定律来分析、求解。为此先介绍有关复杂电路的几个名词术语。

一、名词术语

1.支路

电路中的每一个分支称为支路。它由一个或几个电路元件相互串联构成，在同一条支路内，流过所有元件的电流相等。

在图3-1中有3条支路，即a—E1—R1—b支路；a—R3—b支路、a—E3—R2—b支路。其中，含有电源的支路称为有源支路，不含电源的支路称为无源支路。

2.节点

3条或3条以上支路的交点称为节点。在图3-1中有a、b两个节点。

3.回路

电路中任何一个闭合路径称为回路。在图3-1中有3个回路，即a—E1—R1—b—R3—a回路、a—E2—R2—b—R3—a回路、a—E1—R1—b—R2—E2—a回路。

一个回路中可能只包含一条支路，也可能包含几条支路。

4. 网孔：

电路中不能再分的回路（中间无支路穿过）称为网孔，也叫独立回路。在图3-1中有两个网孔，即a—E1—R1—b—R3—a回路和a—E2—R2—b—R3—a回路。

观察与思考

二、基尔霍夫第一定律（KCL 定律）

如图3-3所示，I1、I2、I3流入节点a，I4、I5流出节点a。因为在电路中任一位置处不可能形成电荷的积累，所以流入节点a的电流之和必然等于流出节点a的电流之和，即

推而广之，对电路中的任一节点，在任一时刻，流入该节点的电流之和恒等于流出该节点的电流之和。这就是基尔霍夫第一定律（KCL定律），又叫节点电流定律。用公式表示为

式（3-1）可改写成

或

若规定流入节点的电流为正，流出节点的电流为负，则上式可写成

也就是说，在任一时刻，通过电路中任一节点的电流的代数和恒等于零。这是基尔霍夫第一定律的另一种表达形式。

式（3-1）和式（3-2）都叫节点电流方程，它们是同一定律的两种表达形式，一般多采用式（3-1）。

基尔霍夫第一定律不仅适用于节点，也可推广应用于任意假定的封闭面。如图3-4所示，假定一个封闭面S把R1～R5所构成的电路全部包围起来，则流进封闭面的电流应等于流出封闭面的电流，即I1=I2。

事实上，不论电路怎样复杂，总是通过两根导线与电源连接的，而这两根导线是串联在电路中的，所以流过它们的电流必然相等，如图3-5所示。

显然，若将一根导线切断，则另一根导线中的电流必然为零。因此，在已经接地的电力系统中工作时，只要穿绝缘胶鞋或站在绝缘木梯上，并且不同时触及有不同电位的两根导线，就不会有电流流过人体，能够保证安全。

观察与思考

如图3-6电路，通过电阻R的电流是多少？为什么？

注意，在分析与计算复杂电路时，往往事先不知道每一支路中电流的实际方向，这时，可以先任意假定各支路中电流的方向（称为参考方向），并标在电路图上，然后进行计算。若计算结果中某一支路的电流为正值，表明该支路电流的实际方向与参考方向相同；反之，该支路电流的实际方向与参考方向相反。

例题3-1 在如图3-7 所示的电路中，已知I=30mA，I2=18mA，I4=12mA，求通过其余各电阻的电流。

解：假定各未知电流的方向如图3-7所示。根据KCL定律可得出以下节点电流方程。

对于节点a：I=I1+I2→I1=I−I2=30−18=12(mA)。

对于节点d：I2+I5=I4→I5=I4−I2=12−18=−6(mA)。

对于节点c：I1=I3+I5→I3=I1−I5=12− (−6)=18(mA)。

I5为负值，表明其实际方向与假定方向相反。

三、基尔霍夫第二定律（KVL 定律）

图3-8所示为某复杂电路中的一个闭合回路，各支路电流方向如图所示。

当从a点出发，按图3-8中虚线所示（回路绕行方向）沿回路绕行一周再回到a点时，利

用分段法得

上式表明，在如图3-8所示的闭合回路中，沿回路绕行一周，各段电压降的代数和恒等于零。

推而广之，在任意一个闭合回路中，沿回路绕行一周，各段电压降的代数和恒等于零。这就是基尔霍夫第二定律（KVL定律），又叫回路电压定律。用公式表示为

在图3-8中，各段电压分别为

代入①式得

移项后得

上式表明，在任意一个闭合回路中，沿回路绕行方向，各电动势的代数和恒等于各电阻上电压降的代数和。这就是基尔霍夫第二定律的另一种表达形式。用公式表示为

式（3-3）和式（3-4）都叫回路电压方程，是同一定律的两种表达形式，一般多采用式（3-4）。

注意，在用式（3-4）列回路电压方程时，必须注意各电动势和各电阻上电压降的正、负号。其原则是：①当电动势的正方向（由负极指向正极）与绕行方向一致时，该电动势取正值，反之取负值；②当通过电阻的电流方向与绕行方向一致时，该电阻上的电压降取正值，反之取负值。

基尔霍夫第二定律适用于任何闭合回路，也可以推广应用于任意不闭合的假想回路。图3-9所示为含有电源的某支路，表面看起来是断开的，但可以把它假想成回路，同样可以用基尔霍夫第二定律列出回路电压方程。

根据图3-9中所标的电压、电流方向及回路绕行方向，可得

即

这种关系式称为含源支路欧姆定律。

图3-9中电动势E的方向与电流方向相反，称为反电动势，它吸收能量，相当于一个负载。电动势的这种状态也称为电动机状态。相反，我们把放出能量的电动势的状态称为发电机状态。

例题3-2 对如图3-10 所示的电路列出3 个网孔的回路电压方程。

解：电路中有3个网孔，即网孔I、II、III。

假定各支路电流方向及各网孔的绕行方向如图3-10所示。

根据基尔霍夫第二定律可得出以下回路电压方程。

对于回路I：E1−E2=I1R1−I2R2。

对于回路II：E2−E3=I2R2+Uab−I3R3。

对于回路III：E3−E4=I3R3−I4R4。

基尔霍夫定律揭示了电路中各支路间电流的相互关系及各回路中各电压之间的相互关系，所以，它是分析、计算各种简单和复杂电路问题的最重要最基本的定律。