1.2 常用的连续时间信号及其时域特性

在此之前的有关课程中，我们已经认识了一些常用的信号，如直流信号、正弦信号、指数信号等，本节将介绍其他的几种常用的连续时间信号，常用的离散时间信号将在第7章引入。

1.单位阶跃信号

单位阶跃信号一般用U（t）表示，有的书上也用ε（t）表示单位阶跃信号。其函数定义式为

也可定义为

其波形如图1-4所示。可见，U（t）在t＝0时刻发生了阶跃，从U（0－）＝0阶跃到U（0＋）＝1，阶跃的幅度为1。单位阶跃信号U（t）具有使任意非因果信号f（t）变为因果信号的功能，即将f（t）乘以U（t），所得f（t）U（t）即为因果信号，如图1-5所示。

【例1-2】试画出下列函数的波形：

（1）f（t）＝U（t2＋3t＋2） （2）f（t）＝U（sinπt）

解：（1）令τ是t的一元二次函数，τ随t的变化曲线如图1-6（a）所示。故有

故f（t）的波形如图1-6（b）所示。

故得f（t）＝U（sinπt）的波形如图1-7所示。可见，f（t）为一周期信号，其周期T＝2。

2.单位门信号

门宽为τ、门高为1的单位门信号常用符号Gτ（t）表示，其函数定义式为

其波形如图1-8（a）所示。

单位门信号可用两个分别在出现的单位阶跃信号之差表示，如图1-8（b），（c）所示。即

3.单位冲激信号

（1）定义

单位冲激信号用δ（t）表示，其函数定义式为

且面积为

其图形如图1-9（a）所示，即用一粗箭头表示，箭头旁边标以（1），表示δ（t）图形下的面积为1，称为冲激函数的强度，简称冲激强度。

单位冲激信号可理解为门宽为τ、门高为的门函数f（t）[见图1-9（b）]在τ→0时的极限，即

且

推广：

①设t0为正的实常数，则有

且

其图形如图1-10（a）所示，即δ（t）在时间上延迟了t0。

②若冲激函数图形下的面积为A，则可写为

且

即冲激强度为A，其图形如图1-10（b）所示，箭头旁标以（A）。

③若δ（t）在时间上超前了t0，则应写为δ（t＋t0），其图形如图1-10（c）所示。

（2）性质

①设f（t）为任意有界函数，且在t＝0与t＝t0时刻连续，其函数值分别为f（0）和f（t0），

则有

f（t）δ（t）＝f（0）δ（t）

f（t）δ（t－t0）＝f（t0）δ（t－t0）

即时间函数f（t）与单位冲激函数相乘，就等于单位冲激函数出现时刻，f（t）的函数值f（t0）与单位冲激函数δ（t－t0）相乘，亦即使冲激函数的强度变为f（t0），如图1-11所示。

②抽样性（筛选性）：

即任意的有界时间函数f（t）与δ（t）或δ（t－t0）相乘后在无穷区间（t∈R）的积分值，等于单位冲激函数出现时刻f（t）的函数值f（t0）。此即为冲激函数的抽样性，也称筛选性，f（0）或f（t0）即为f（t）在抽样时刻的抽样值，f（t）为被抽样的函数。

③δ（t）为偶函数，即有

δ（－t）＝δ（t）

证明：给上式等号两端同乘以f（t）并进行积分，即

又有

故得δ（－t）＝δ（t）[证毕]

推广：

δ（t－t0）＝δ[－（t－t0）]

④（a为大于零的实常数）

证明：设t′＝at，则；且当t＝－∞时，t′＝－∞；当t＝∞时，t′＝∞。

故

又

故得

推广：

4.δ（t）与U（t）的关系

δ（t）与U（t）互为微分与积分的关系，即

现证明前一式：当t＜0时有δ（t）＝0，故有

当t＞0时有

故得

式的成立是不言而喻的，无需证明。

推广：

【例1-3】试画出f（t）＝δ[sinπt]（t≥）0的波形。

解：

其波形如图1-12所示。

【例1-4】求下列积分。

5.单位冲激偶信号

（1）定义

δ（t）函数的一阶导数δ′（t）称为单位冲激偶信号，即

单位冲激偶信号δ′（t）可理解为门宽为τ、门高为1/τ的门函数的一阶导数在τ→0时的极限。设门宽为τ，门高为1/τ的门函数为

其波形如图1-13（a）所示。故有

f′（t）的波形如图1-13（b）所示。可见f′（t）是位于t＝±τ/2时刻的强度均为1/τ的正、负

两个冲激信号。又因有

故

δ′（t）的波形如图1-13（c）所示。可见δ′（t）是在t＝0时刻出现的方向相反、强度均为∞的一对正、负冲激信号。

（2）性质

①δ′（t）为奇函数，即有δ′（t）＝－δ′（－t）。

证明：因有

[f（t）δ（t）]′＝f′（t）δ（t）＋f（t）δ′（t）

即

[f（0）δ（t）]′＝f′（0）δ（t）＋f（t）δ′（t）

即

f（0）δ′（t）＝f′（0）δ（t）＋f（t）δ′（t）f（t）δ′（t）＝f（0）δ′（t）－f′（0）δ（t）

故得这是一个很重要和很有用的公式。

推广：

①f（t）δ′（t－t0）＝f（t0）δ′（t－t0）－f′（t0）δ（t－t0）

【例1-5】已知f（t）＝3t2＋2t＋1，求下列积分。

6.单位符号信号

单位符号信号用sgn（t）表示，其函数定义式为

或写成sgn（t）＝U（t）－U（－t）＝2U（t）－1

其波形如图1-14所示。符号信号也称正负号信号。

【例1-7】试画出函数的波形。

解：与f（t）的波形如图1-15所示。

7.抽样信号

抽样信号的函数定义式为

其波形如图1-16所示。抽样信号有如下性质：

①为实变量t的偶函数，即有f（t）＝f（－t）；

③当t＝kπ（k＝±1，±2，…）时，f（t）＝0，即t＝kπ为f（t）出现零值点的时刻；