1.6 逻辑函数的标准形式

1.6.1 常用的逻辑函数式

逻辑函数式是一种用逻辑代数表达式表示逻辑函数的方法，它是由逻辑变量按照“与”、“或”、“非”等逻辑运算符号组合而成的。例如，就是以A、B为自变量，F为因变量的一个逻辑函数式。需要再次强调的是，逻辑函数式运算的优先次序是：如式中有括号，则先进行括号内的运算；如无括号，则按“非”、“与”、“或”的次序运算。

逻辑函数式有多种不同的形式。常用的形式有以下五种类型：

例如

上述五种类型的逻辑函数式是可以相互转换的。

1.6.2 函数的与或式和或与式

利用逻辑函数的基本公式，总可以把任何一个逻辑函数式展开成与或和或与式。其中与或式又叫积之和式，或与式又叫和之积式。

与或式，是指一个函数表达式中包含有若干个“与”项，其中每个“与”项可由一个或多个原变量或反变量组成。这些“与”项的“或”就表示了一个函数。例如，一个四变量函数为：

其中均为“与”项。函数F就是一个与或式。

或与式，是指一个函数表达式中包含有若干个“或”项，其中每个“或”项可由一个或多个原变量或反变量组成。这些“或”项的“与”就表示了一个函数。例如，一个三变量函数为：

其中，均为“或”项，这些“或”项的“与”就构成了函数F。

除上述两种类型外，逻辑函数还可以表示成其他类型。例如，很容易看出，上述三变量函数可写成：

这种表示形式既不是与或式，又不是或与式。

另外，即使是同一种类型，写出的函数表达式也不唯一。仍以上面函数为例：

可见，最后一个式子和第一个式子同为或与式，但表示形式不相同。

1.6.3 最小项和最大项

1.最小项

最小项是一种特殊的乘积项（“与”项），最小项具有以下特点：

（1）n变量逻辑函数的最小项，一定包含n个因子；

（2）在各个最小项中，每个变量以原变量或反变量的形式作为因子仅出现一次。根据上述特点，容易写出两变量逻辑函数F（A，B）的最小项为；三变量逻辑函数F（A，B，C）的所有最小项为，共8项。不难看出，n变量逻辑函数最多有2n个最小项。

为了便于书写和识别，常对最小项进行编号，记为mi。这里m表示最小项，i是代号，且i=0，1，2，…，2n-1，n为变量个数。例如，三变量A，B，C构成的8个最小项之——，只有当A=1，B=0，C=1时，才使。若把ABC的取值101看成二进制数，那么与之等值的十进制数就是5，则把这个最小项记为m5。按照类似的方法便可得出三变量最小项的编号如表1.18所示。

由最小项的代数形式求其编号还有一个简单的方法，即最小项中的变量若以原变量形式出现的，则记为1；若以反变量形式出现的，则记为0。把这些1和0的有序排列（按最小项中变量排列的顺序）看成二进制数，则与之等值的十进制数，即为最小项编号mi的下标i。例如，上例中的是这样得到的

反之，由最小项的编号，也可写出相应最小项的代数形式。不过需要注意的是，在提到最小项时，首先要说明变量的数目，以及变量排列的顺序。

例如，三变量A、B、C构成的最小项m0和m3，分别为和；四变量W，X，Y，Z构成的最小项m0和m3，分别为和。

表1.18 三变量最小项编号表

表1.19 三变量最小项真值表

三变量A，B，C构成的全部最小项的真值表如表1.19所示。

由表1.19可以看出最小项具有以下主要性质。

（1）每个最小项只有对应的一组变量取值能使其值为1。例如：最小项（m2）只和“010”这组取值对应，即只有当ABC取值为010时，最小项ABC才为1。变量取其他各组值时，最小项的值皆为0。正因为这种“与”函数真值表中1的个数最少，所以“最小项”由此得名。

（2）n个变量的全体最小项（共有2n个）之和恒为1，即。

从表1.19中可以看出，变量的每组取值，总有一个相应的最小项为1，所以全部最小项之和必为1。

（3）n个变量的任意两个不同的最小项之积恒为0，即mi·mj=0，i=j。这是因为变量的每组取值，对于任何两个不同的最小项不能同时为1。

（4）相邻的两个最小项之和，可以合并成一项（等于相同因子之积），并消去一个因子。

这里的“相邻”不是几何位置的相邻，而是指逻辑上的相邻。即两个最小项中只有一个因子不同，其余因子完全相同，则称这两个最小项是相邻的，或者称这两个最小项为相邻项。例如，三变量最小项和是相邻的，因为它们之中只有一个因子不同（前项中有，后项中有A），其余因子完全相同（两项中都有B和）。于是这两项相加可以合并成一项（等于两项中相同因子之积），并消去那个不同的因子，即。

根据上述“相邻”的定义，可知三变量最小项ABC，将A取反得相邻项，将B取反得相邻项，将C取反得相邻项ABC。即三变量最小项ABC有三个相邻项：。同理，n变量最小项有n个相邻项。

2.最大项

最大项是一种特殊的和项（“或”项），最大项具有以下特点：

（1）n个变量构成的每个最大项，一定是包含n个因子的和项；

（2）在各个最大项中，每个变量必须以原变量（或反变量）形式作为一个因子仅出现一次。

例如，二变量A、B构成的最大项最多有四个，即。n个变量最多可以构成2n个最大项。

一个函数的最大项记为Mi，这里M表示最大项，i是代号。例如，三变量A、B、C构成的八个最大项之一——，只有当A=1，B=0，C=1时，才使。若把ABC的取值101看成二进制数，那么与之等值的十进制数就是5，则把这个最大项记为M5。按照类似的方法便可得出三变量最大项的编号如表1.20所示。

由最大项的代数形式求其编号，也有一个简单的方法，即最大项中的变量若以原变量形式出现的，则记为0；若以反变量形式出现的，则记为1。把这些1和0的有序排列（按最大项中变量排列的顺序）看成二进制数，则与之等值的十进制数，即为最大项编号Mi的下标i。例如，上例中的是这样得到的

反之，由最大项的编号，也可直接写出该最大项的代数形式。三变量A、B、C构成的全部最大项的真值表如表1.21所示。

表1.20 三变量最大项编号表

表1.21 三变量最大项真值表

由表1.21可知最大项具有以下性质：

（1）每个最大项只有对应的一组变量取值能使其值为0。例如，最小项，即m5只和“101”这组取值对应，即只有当ABC取值为101时，最大项才为0。变量取其他各组值时，最大项的值皆为1。正因为这种“或”函数真值表中1的个数最多，所以“最大项”由此得名。

（2）n个变量的全体最大项（共有2个）之积恒为0，即。从表1.21中看出，变量的每组取值，总有一个相应的最大项为0，所以全部最小项之积必为0。

（3）n个变量的任意两个不同的最大项之和恒为1，即Mi+Mj=1，i≠j。这是因为变量的每组取值，对于任何两个不同的最大项不能同时为0。

（4）相邻的两个最大项之积，可以合并成一项（等于相同因子之和），并消去一个因子。例如：

3.最小项和最大项的关系

由表1.19和表1.21可以发现，在相同变量取值的情况下，编号下标相同的最小项和最大项互为反函数，即

例如：

1.6.4 逻辑函数的标准与或式和标准或与式

1.标准与或式

如果一个逻辑函数式是积之和形式（与或式），而且其中每个乘积项（与项）都是最小项，则称该函数式为标准与或式（也称标准积之和形式，或称最小项之和形式）。

例如就是一个标准与或式。为简明起见，该式还可写为：

任何一种逻辑函数式都可以展开为标准与或式，而且是唯一的。

【例1.17】 试将展开为标准与或式。

解：原式为与或式，但不是标准与或式。其中AB和都缺少一个变量，应当补入所缺变量，使之成为最小项，但又不能改变原函数的逻辑功能。方法是：，，故得：

2.标准或与式

如果一个逻辑函数式是和之积形式（或与式），而且其中每个和项（或项）都是最大项，则称该函数式为逻辑函数的标准或与式（也称标准和之积形式，或称为最大项之积形式）。

例如：

就是一个标准或与式。

为简明起见，上式还可写为

F（A，B，C）=M0·M2·M4=∏M（0，2，4）=∏（0，2，4）

任何一种逻辑函数式也都可以展开为标准或与式，而且是唯一的。

【例1.18】 试将展开为最大项之积的形式。

解：

3.标准与或式和标准或与式的关系

由最小项性质可知：

而

故

以三变量函数为例，最多有23=8个最小项，即m0～m7。

若已知 F（A，B，C）=m1+m3+m4+m6+m7

则得

故

对于任意变量的逻辑函数式都存在与上式类似的关系。由此可以得出结论：若已知函数的标准与或式，则可直接写出该函数的标准或与式。在0，1，…，（2n-1）这2n个编号中，原标准与或式各最小项编号之外的编号，就是标准或与式中最大项的编号；反之，若已知函数的标准或与式，也可以直接写出该函数的标准与或式，在标准与或式中最小项的编号，也就是标准或与式中最大项的编号之外的编号。

【例1.19】 试将化为最大项之积的形式。

解：

【例1.20】 试求逻辑函数的最小项之和的形式，并求和F′的最小项之和的形式。

解：

则

由反演规则和对偶式的定义可知，由原函数F来求反函数和对偶函数F′时，在对F进行变化的过程中，运算符和常量的变化是相同的，而变量的变化二者是相反的，所以，和F′除了在相同变量上是取值原变量还是取值反变量不同外，二者的函数表达式是相同的。例如：若已知，则。所以，如果在三变量逻辑函数的标准与或式中有最小项），则在F′的标准与或式中一定有最小项ABC（m7）。相同的道理，在和F′中，m1和m6相对应，m2和m5相对应，m3和m4相对应。所以在本题中由可得。